Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) и пересекает ребро \(SA\) в точке \(K\). Сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) является правильным треугольником площадью \(2\sqrt{3}\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(AC\).
б) В каком отношении точка \(K\) делит ребро \(SA\), считая от точки \(S\), если объём пирамиды равен \(36\sqrt{6}\)?
а) Проведём \(KK_1 \parallel SO\), где \(SO\) — высота пирамиды, а \(O\) — точка пересечения диагоналей основания. Тогда \(KK_1 \perp (ABC)\). По условию \(\alpha \perp (ABC)\), поэтому прямая, проходящая через точку \(K\) плоскости \(\alpha\) перпендикулярно основанию, целиком лежит в \(\alpha\); значит \(KK_1 \subset \alpha\).
Плоскости \(\alpha\) и \((ABC)\) имеют общую точку \(K_1\), значит пересекаются по прямой. Обозначим через \(L\) и \(P\) точки, в которых эта прямая пересекает стороны \(AB\) и \(AD\). Тогда сечение — треугольник \(KLP\).
Так как \(KK_1 \perp (ABC)\), то \(KK_1 \perp AC\). Осталось проверить, что \(AC \perp LP\). Для этого заметим два факта:
— \(ABCD\) — квадрат, поэтому \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\);
— треугольник \(KLP\) правильный, поэтому его высота \(KK_1\) является медианой, то есть \(LK_1 = K_1P\).
Значит в треугольнике \(ALP\) отрезок \(AK_1\) одновременно медиана и биссектриса, а потому и высота. Отсюда \(AC \perp LP\).
Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(KK_1\) и \(LP\) плоскости \(\alpha\), следовательно \(AC \perp \alpha\). Что и требовалось доказать.
б) Сравним объёмы пирамид \(KALP\) и \(SABCD\):
\[\frac{V_{KALP}}{V_{SABCD}} = \frac{KK_1}{SO}\cdot\frac{S_{ALP}}{S_{ABCD}}.\]
Прямоугольные треугольники \(AKK_1\) и \(ASO\) подобны по острому углу при вершине \(A\), поэтому
\[\frac{AK}{AS} = \frac{KK_1}{SO} = \frac{AK_1}{AO}.\]
Диагонали квадрата \(ABCD\) перпендикулярны, и \(AK_1 \perp LP\) по доказанному, поэтому обе площади удобно записать через произведения взаимно перпендикулярных отрезков:
\[\frac{S_{ALP}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}AK_1\cdot LP}{\frac{1}{2}AC\cdot BD} = \frac{AK_1}{AC}\cdot\frac{LP}{BD} = \frac{1}{2}\cdot\frac{AK_1}{AO}\cdot\frac{LP}{BD}.\]
Из подобия прямоугольных треугольников \(AK_1L\) и \(AOB\)
\[\frac{AK_1}{AO} = \frac{LK_1}{BO} = \frac{LP}{BD},\]
поэтому
\[\frac{V_{KALP}}{V_{SABCD}} = \frac{AK}{AS}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{AK_1}{AO}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{AK}{AS}\right)^3.\]
Теперь найдём \(V_{KALP}\). У правильного треугольника \(KLP\) высота равна \(KK_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}LP\), поэтому
\[S_{KLP} = \frac{\sqrt{3}}{4}LP^2 = 2\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad LP = 2\sqrt{2}, \qquad KK_1 = \sqrt{6}.\]
Треугольник \(ALP\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому
\[LP^2 = 2AP^2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad AP = AL = 2,\]
\[V_{KALP} = \frac{1}{3}\cdot KK_1\cdot S_{ALP} = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{2\sqrt{6}}{3}.\]
Подставляем в найденное отношение:
\[\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{36\sqrt{6}} = \frac{1}{2}\left(\frac{AK}{AS}\right)^3, \qquad \left(\frac{AK}{AS}\right)^3 = \frac{1}{27} \quad\Longrightarrow\quad \frac{AK}{AS} = \frac{1}{3}.\]
Если \(AK = x\), то \(AS = 3x\) и \(SK = 2x\), откуда
\[SK : KA = 2 : 1.\]
Ответ: б) \(2 : 1\).