Дан ромб \(ABCD\). На диагонали \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM = MN = NC\). Прямая \(BM\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а прямая \(BN\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\).
а) Докажите, что площадь четырёхугольника \(BPDQ\) равна площади треугольника \(ADC\).
б) Найдите \(BD\), если известно, что \(AC = 2\sqrt{5}\) и около пятиугольника \(MNQDP\) можно описать окружность.
а) В ромбе противоположные стороны параллельны: \(AB \parallel DC\) и \(AD \parallel BC\).
Треугольники \(ABN\) и \(QCN\) подобны по двум углам: \(\angle NAB = \angle NCQ\) как накрест лежащие при параллельных \(AB\) и \(DC\), а \(\angle ANB = \angle QNC\) как вертикальные. Запишем отношение подобия:
\[\frac{QC}{AB} = \frac{NC}{AN} = \frac{NC}{AM + MN} = \frac{1}{2}.\]
Значит \(QC = \dfrac{1}{2}AB\). У ромба \(DC = AB\), поэтому \(QC = \dfrac{1}{2}DC\), то есть \(Q\) — середина \(DC\).
Точно так же \(\triangle APM \sim \triangle BCM\): \(\angle MAP = \angle BCM\) как накрест лежащие, \(\angle AMP = \angle BMC\) как вертикальные. Отсюда
\[\frac{AP}{BC} = \frac{AM}{MC} = \frac{AM}{MN + NC} = \frac{1}{2},\]
то есть \(AP = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD\) и \(P\) — середина \(AD\). Так как все стороны ромба равны,
\[AP = PD = DQ = QC.\]
Проведём диагональ \(BD\) и обозначим площадь ромба через \(S\). Каждая диагональ разбивает ромб на два равных треугольника, поэтому
\[S_{ADC} = \frac{S}{2}, \qquad S_{ADB} = S_{BDC} = \frac{S}{2}.\]
В треугольнике \(ADB\) отрезок \(BP\) — медиана, а медиана делит треугольник на два равновеликих:
\[S_{APB} = S_{BPD} = \frac{1}{2}S_{ADB} = \frac{S}{4}.\]
Аналогично \(BQ\) — медиана треугольника \(BDC\), поэтому \(S_{BQC} = S_{BQD} = \dfrac{S}{4}\).
Четырёхугольник \(BPDQ\) состоит из треугольников \(BPD\) и \(BQD\), значит
\[S_{BPDQ} = \frac{S}{4} + \frac{S}{4} = \frac{S}{2} = S_{ADC}.\]
Что и требовалось доказать.
б) Проведём \(DN\) и \(DM\).
Точки \(P\) и \(M\) — середины \(AD\) и \(AN\), поэтому \(PM\) — средняя линия треугольника \(ADN\), откуда \(PM \parallel DN\). Точно так же \(QN\) — средняя линия треугольника \(CDM\), то есть \(QN \parallel DM\).
Так как \(PM \parallel DN\), но \(PM \ne DN\), четырёхугольник \(PMND\) — трапеция. Вписанная в окружность трапеция равнобедренная, следовательно \(PD = MN\). Точно так же \(DMNQ\) — вписанная трапеция, значит \(DQ = MN\).
Так как \(MN = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}\), получаем
\[AD = 2PD = 2MN = \frac{4\sqrt{5}}{3}.\]
Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \sqrt{5}\). Диагонали ромба перпендикулярны, значит треугольник \(ADO\) прямоугольный и по теореме Пифагора
\[DO^2 = AD^2 - AO^2 = \frac{16\cdot 5}{9} - 5 = \frac{35}{9}, \qquad DO = \frac{\sqrt{35}}{3}.\]
Следовательно,
\[BD = 2DO = \frac{2\sqrt{35}}{3}.\]
Ответ: б) \(\dfrac{2\sqrt{35}}{3}\).