а) Обозначим плоскость \(MLN\) через \(\alpha\).

В треугольнике \(ABD\) точки \(M\) и \(N\) делят стороны \(AB\) и \(AD\) в одном отношении:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} = \frac{1}{5},\]

поэтому \(MN \parallel BD\).

Прямая \(BD\) не лежит в плоскости \(\alpha\) и параллельна прямой \(MN\), которая в \(\alpha\) лежит, значит \(BD \parallel \alpha\).

Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(BCD\) по прямой, проходящей через точку \(L\). Так как \(BD \parallel \alpha\), эта прямая параллельна \(BD\). Пусть она пересекает ребро \(CD\) в точке \(X\). Тогда в треугольнике \(BCD\) выполняется \(LX \parallel BD\), и по теореме Фалеса

\[\frac{CX}{CD} = \frac{CL}{CB} = \frac{4}{5},\]

то есть \(CX : XD = 4 : 1\). Что и требовалось доказать.

б) Сечением является четырёхугольник \(MLXN\): сторона \(ML\) лежит в грани \(ABC\), \(LX\) — в грани \(BCD\), \(XN\) — в грани \(ACD\), \(NM\) — в грани \(ABD\).

Так как \(AB = 10\), то

\[AM = BL = XD = 2, \qquad MB = LC = CX = ND = 8.\]

Обе прямые \(MN\) и \(LX\) параллельны \(BD\), поэтому \(MN \parallel LX\) и \(MLXN\) — трапеция. Её основания — средние линии подобных треугольников:

\[MN = \frac{BD}{5} = 2, \qquad LX = \frac{4BD}{5} = 8.\]

Найдём боковую сторону. В треугольнике \(MBL\) известно \(BM = 8\), \(BL = 2\), а угол \(MBL\) — это угол правильного треугольника \(ABC\), то есть \(60^\circ\). По теореме косинусов

\[ML^2 = 64 + 4 - 2\cdot 8\cdot 2\cdot\frac{1}{2} = 52, \qquad ML = 2\sqrt{13}.\]

Точно так же в треугольнике \(NDX\) имеем \(DN = 8\), \(DX = 2\), \(\angle NDX = 60^\circ\), откуда \(NX = 2\sqrt{13}\). Значит трапеция равнобедренная.

Проведём высоту \(MH\). В равнобедренной трапеции она отсекает от большего основания отрезок

\[LH = \frac{LX - MN}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3,\]

поэтому

\[MH = \sqrt{ML^2 - LH^2} = \sqrt{52 - 9} = \sqrt{43}.\]

Остаётся посчитать площадь:

\[S = \frac{MN + LX}{2}\cdot MH = \frac{2 + 8}{2}\cdot\sqrt{43} = 5\sqrt{43}.\]

Ответ: б) \(5\sqrt{43}\).