В правильном тетраэдре \(ABCD\) с ребром 10 на рёбрах \(AB\) и \(AD\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM = AK = 8\).
а) Докажите, что плоскость \(CMK\) делит объём тетраэдра в отношении \(16:9\).
б) Найдите косинус угла между прямой \(AC\) и плоскостью \(CMK\).
а) Плоскость \(CMK\) проходит через вершину \(C\) и через точки \(M\) и \(K\) на рёбрах \(AB\) и \(AD\), поэтому она отсекает от тетраэдра пирамиду \(CAMK\).
Пирамиды \(CAMK\) и \(CABD\) имеют общую вершину \(C\), а их основания \(AMK\) и \(ABD\) лежат в одной плоскости. Значит высоты этих пирамид равны, и объёмы пропорциональны площадям оснований:
\[\frac{V_{CAMK}}{V_{CABD}} = \frac{S_{AMK}}{S_{ABD}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AK\cdot\sin 60^\circ}{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot\sin 60^\circ} = \frac{8\cdot 8}{10\cdot 10} = \frac{16}{25}.\]
На вторую часть приходится \(25 - 16 = 9\) таких же долей, поэтому плоскость делит объём в отношении \(16 : 9\). Что и требовалось доказать.
б) Угол \(MAK\) — это угол правильного треугольника \(ABD\), то есть \(60^\circ\). Вместе с \(AM = AK = 8\) это даёт равносторонний треугольник \(AMK\) со стороной 8, в частности \(MK = 8\).
Пусть \(N\) — середина \(MK\). Тогда \(AN\) — медиана равностороннего треугольника \(AMK\), а значит и его высота:
\[AN \perp MK, \qquad AN = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8 = 4\sqrt{3}.\]
Из треугольника \(ACM\), где \(AC = 10\), \(AM = 8\) и \(\angle MAC = 60^\circ\), по теореме косинусов
\[CM^2 = 100 + 64 - 2\cdot 10\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 84, \qquad CM = 2\sqrt{21}.\]
Точно так же \(CK = 2\sqrt{21}\). Треугольник \(CMK\) равнобедренный, поэтому его медиана \(CN\) тоже является высотой:
\[CN \perp MK, \qquad CN = \sqrt{CM^2 - MN^2} = \sqrt{84 - 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.\]
Прямая \(MK\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AN\) и \(CN\) плоскости \((ACN)\), следовательно \(MK \perp (ACN)\). Плоскость \(CMK\) содержит прямую \(MK\), поэтому
\[(CMK) \perp (ACN),\]
а линия их пересечения — прямая \(CN\). Значит проекцией прямой \(AC\) на плоскость \(CMK\) является прямая \(CN\), и искомый угол — это \(\angle ACN\).
В треугольнике \(ACN\) известны все три стороны: \(AC = 10\), \(CN = 2\sqrt{17}\), \(AN = 4\sqrt{3}\). По теореме косинусов
\[\cos\varphi = \frac{AC^2 + CN^2 - AN^2}{2\cdot AC\cdot CN} = \frac{100 + 68 - 48}{2\cdot 10\cdot 2\sqrt{17}} = \frac{120}{40\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{17}}{17}.\]
Ответ: б) \(\dfrac{3\sqrt{17}}{17}\).