а) Призма правильная, поэтому \(A_1B_1C_1\) — равносторонний треугольник, и медиана \(C_1K\) является в нём высотой. Отсюда \(KC_1 \perp A_1B_1\).

Кроме того, боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а прямая \(KC_1\) лежит в этой плоскости, значит \(KC_1 \perp AA_1\).

Получилось, что \(KC_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \((ABB_1)\), следовательно

\[KC_1 \perp \left(ABB_1\right).\]

Так как \(\alpha \perp (ABB_1)\), точка \(K\) лежит в \(\alpha\) и \(KC_1 \perp (ABB_1)\), то прямая \(KC_1\) лежит в \(\alpha\), а вместе с ней и точка \(C_1\). Что и требовалось доказать.

б) Плоскость \(\alpha\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(M\), ребро \(A_1B_1\) — в точке \(K\) и проходит через вершину \(C_1\), то есть отсекает от призмы угол при вершине \(A_1\). Значит сечение — треугольник \(MKC_1\).

Из доказанного \(KC_1 \perp (ABB_1)\), в частности \(KC_1 \perp MK\). Значит \(MKC_1\) — прямоугольный треугольник и

\[S = \frac{1}{2}MK\cdot C_1K.\]

Все рёбра равны 12, поэтому \(A_1K = KB_1 = 6\). Из \(AM : MA_1 = 5 : 1\) получаем \(AM = 10\), \(MA_1 = 2\).

Оба катета находятся в плоских фигурах: \(MK\) — в грани \(ABB_1A_1\), а \(C_1K\) — в верхнем основании \(A_1B_1C_1\).

По теореме Пифагора для \(\triangle A_1MK\):

\[MK^2 = A_1M^2 + A_1K^2 = 4 + 36 = 40 \quad\Longrightarrow\quad MK = 2\sqrt{10}.\]

По теореме Пифагора для \(\triangle A_1C_1K\):

\[C_1K^2 = C_1A_1^2 - A_1K^2 = 144 - 36 = 108 \quad\Longrightarrow\quad C_1K = 6\sqrt{3}.\]

Тогда

\[S = \frac{1}{2}\cdot MK\cdot C_1K = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot 6\sqrt{3} = 6\sqrt{30}.\]

Ответ: б) \(6\sqrt{30}\).