Дана правильная треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\), точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B_1\), \(A\) и \(M\).
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью \(\alpha\) является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\) равна 18 и \(AB = 4\).
а) Точки \(A\), \(B_1\) и \(M\) лежат в гранях \(ACC_1A_1\), \(BCC_1B_1\) и \(ABB_1A_1\), поэтому сечением является треугольник \(B_1MA\).
Боковое ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскостям основаниий, поэтому \(CM \perp AC\) и \(C_1M \perp B_1C_1\), то есть треугольники \(ACM\) и \(B_1C_1M\) прямоугольные.
Катеты \(C_1M\) и \(CM\) равны, так как \(M\) — середина ребра \(CC_1\). Катеты \(B_1C_1\) и \(AC\) тоже равны: призма правильная, значит в основаниях лежат равные правильные треугольники.
Значит \(\triangle B_1C_1M = \triangle ACM\) по двум катетам, а потому равны и гипотенузы:
\[AM = B_1M.\]
Треугольник \(B_1MA\) равнобедренный, что и требовалось доказать.
б) Обозначим \(BB_1 = 2h\).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABB_1\):
\[AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{16 + 4h^2} = 2\sqrt{4 + h^2}.\]
Из прямоугольного треугольника \(ACM\), где \(CM = h\):
\[AM = \sqrt{AC^2 + CM^2} = \sqrt{16 + h^2}.\]
Треугольник \(B_1MA\) равнобедренный с основанием \(AB_1\), поэтому высота \(MH\) делит основание пополам:
\[AH = \frac{AB_1}{2} = \sqrt{4 + h^2}.\]
Снова по теореме Пифагора:
\[MH = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{16 + h^2 - 4 - h^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\]
Записываем площадь сечения:
\[S = \frac{MH\cdot AB_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{4+h^2}}{2} = 2\sqrt{12 + 3h^2}.\]
По условию она равна 18:
\[2\sqrt{12 + 3h^2} = 18, \qquad 12 + 3h^2 = 81, \qquad h^2 = 23 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{23}.\]
Высота призмы равна \(2h\).
Ответ: б) \(2\sqrt{23}\).