В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) — середина ребра \(B_1C_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) и \(D\).
а) Докажите, что сечение куба плоскостью \(\alpha\) является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(\alpha\), если ребро куба равно 3.
а) Точки \(B\) и \(K\) лежат в одной грани, значит их можно соединить; аналогично для \(B\) и \(D\). Верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, поэтому \(\alpha\) пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной \(BD\).
Пусть \(\alpha\) пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(L\), тогда \(BD \parallel KL\). В кубе \(B_1D_1 \parallel BD\), значит \(KL \parallel B_1D_1\), и по теореме Фалеса \(L\) — середина ребра \(C_1D_1\). Сечением куба является четырёхугольник \(BKLD\).
Из точек \(K\) и \(L\) опустим перпендикуляры на нижнюю грань; пусть их основания — \(H_1\) и \(H_2\). Пусть ребро куба равно \(2x\). Тогда
\[BH_1 = H_1C = CH_2 = H_2D = x.\]
По теореме Пифагора для \(\triangle BKH_1\):
\[BK^2 = KH_1^2 + BH_1^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2.\]
По теореме Пифагора для \(\triangle DLH_2\):
\[DL^2 = LH_2^2 + DH_2^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2.\]
Таким образом, \(BK = DL\).
Заметим, что \(KL\) — средняя линия \(\triangle B_1C_1D_1\), значит
\[KL = \frac{B_1D_1}{2} = \frac{BD}{2},\]
то есть \(KL \ne BD\) и \(BKLD\) не является параллелограммом. Следовательно, \(BKLD\) — равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.
б) Продлим отрезки \(DL\) и \(BK\) за точки \(L\) и \(K\) соответственно до пересечения с продолжением ребра \(CC_1\). По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях они пересекутся в одной точке \(S\).
Проведём диагональ \(A_1C_1\) верхней грани. Пусть она пересекает отрезок \(KL\) в точке \(E\). Тогда \(C_1E \perp KL\). Кроме того, \(SC_1 \perp KL\), следовательно \((SEC_1) \perp KL\).
В треугольнике \(SC_1E\) опустим высоту \(C_1H\). Получаем, что \(C_1H \perp KL\) и \(C_1H \perp SE\), а значит \(C_1H \perp \alpha\).
Найдём длину \(C_1H\). Заметим, что \(\triangle DSC \sim \triangle LSC_1\), так как \(LC_1 \parallel DC\). Тогда
\[\frac{SC_1}{SC} = \frac{LC_1}{DC} = \frac{1}{2},\]
следовательно \(SC_1 = CC_1 = 3\).
Так как \(KL\) — средняя линия, то
\[EC_1 = \frac{A_1C_1}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}.\]
По теореме Пифагора для \(\triangle SEC_1\):
\[SE^2 = SC_1^2 + EC_1^2 = 9 + \frac{9\cdot 2}{16} = \frac{9\cdot 18}{16}, \qquad SE = \frac{9\sqrt{2}}{4}.\]
Находим \(C_1H\) как высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе:
\[C_1H = \frac{C_1S\cdot C_1E}{SE} = \frac{3\cdot\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{9\sqrt{2}}{4}} = 1.\]
Ответ: б) \(1\).