В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\), \(K\) и \(C\).
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \(\alpha\) является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения, если все рёбра призмы равны 6.
а) Точки \(A\) и \(K\) лежат в одной грани, значит их можно соединить; аналогично для точек \(A\) и \(C\). Верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной \(AC\).
Пусть \(\alpha\) пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(P\), тогда \(AC \parallel KP\). При этом \(A_1C_1 \parallel AC\), значит \(KP \parallel A_1C_1\), и по теореме Фалеса точка \(P\) — середина ребра \(B_1C_1\). Получили, что сечением является четырёхугольник \(AKPC\).
Так как призма правильная, треугольник \(A_1B_1C_1\) равносторонний, следовательно
\[A_1K = KB_1 = C_1P = PB_1.\]
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(CC_1P\):
\[CP^2 = CC_1^2 + C_1P^2,\]
по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(AA_1K\):
\[AK^2 = AA_1^2 + A_1K^2.\]
Так как \(AA_1 = CC_1\) и \(A_1K = C_1P\), получаем \(AK = CP\).
Более того, \(KP\) — средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\), значит
\[KP = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{AC}{2},\]
то есть \(KP \ne AC\) и \(AKPC\) не является параллелограммом. Тогда \(AKPC\) — равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.
б) Продлим отрезки \(CP\) и \(AK\) за точки \(P\) и \(K\) соответственно до пересечения с продолжением ребра \(BB_1\). По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях они пересекутся в одной точке; обозначим её \(S\).
В треугольнике \(ABC\) опустим высоту \(BE\). Тогда \(BE \perp AC\). Кроме того, \(SB \perp (ABC)\), поэтому \(SB \perp AC\). Следовательно, \(AC \perp (SEB)\).
В треугольнике \(SBE\) опустим высоту \(BH\). Получаем, что \(BH \perp AC\) и \(BH \perp SE\), а значит \(BH \perp \alpha\).
Найдём длину \(BH\). Заметим, что \(\triangle CSB \sim \triangle PSB_1\), так как \(PB_1 \parallel CB\). Тогда
\[\frac{SB_1}{SB} = \frac{PB_1}{CB} = \frac{1}{2},\]
следовательно \(SB_1 = BB_1 = 6\), то есть \(SB = 12\).
Так как \(BE\) — высота правильного треугольника со стороной 6, то
\[BE = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.\]
По теореме Пифагора для \(\triangle SEB\):
\[SE^2 = SB^2 + EB^2 = 12^2 + \left(3\sqrt{3}\right)^2 = 144 + 27 = 171, \qquad SE = \sqrt{171}.\]
Находим \(BH\) как высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе:
\[BH = \frac{BS\cdot BE}{SE} = \frac{12\cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{171}} = \frac{36}{\sqrt{57}}.\]
Ответ: б) \(\dfrac{36}{\sqrt{57}}\).