а) Призма правильная, поэтому \(A_1B_1C_1\) — равносторонний треугольник, и медиана \(C_1K\) является в нём высотой. Отсюда

\[KC_1 \perp A_1B_1.\]

Кроме того, боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а прямая \(KC_1\) лежит в этой плоскости, поэтому

\[KC_1 \perp AA_1.\]

Получилось, что \(KC_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(A_1B_1\) и \(AA_1\) плоскости \((ABB_1A_1)\), следовательно

\[KC_1 \perp \left(ABB_1A_1\right).\]

Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна грани \(ABB_1A_1\) и проходит через точку \(K\). Прямая, проходящая через точку плоскости \(\alpha\) перпендикулярно грани, целиком лежит в \(\alpha\), значит \(KC_1 \subset \alpha\), а вместе с ней и точка \(C_1\). Что и требовалось доказать.

б) Так как все рёбра равны 16 и \(AM = 3MA_1\), то

\[MA_1 = 4, \qquad AM = 12, \qquad A_1K = KB_1 = 8.\]

Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна грани \(ABB_1A_1\), а линия их пересечения — прямая \(MK\). Опустим в самой грани перпендикуляр \(A_1H\) на прямую \(MK\). Тогда \(A_1H \perp MK\), и, поскольку \(\alpha \perp \left(ABB_1A_1\right)\), прямая \(A_1H\) перпендикулярна и всей плоскости \(\alpha\). Значит \(A_1H\) — искомое расстояние, и всё вычисление происходит в плоскости грани.

Треугольник \(A_1MK\) прямоугольный с прямым углом при \(A_1\), поэтому по теореме Пифагора

\[MK = \sqrt{A_1M^2 + A_1K^2} = \sqrt{16 + 64} = 4\sqrt{5}.\]

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

\[A_1H = \frac{A_1M\cdot A_1K}{MK} = \frac{4\cdot 8}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}.\]

Ответ: б) \(\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\).