а) Точки \(M\), \(N\), \(B_1\) лежат в гранях \(ACC_1A_1\), \(BCC_1B_1\) и \(ABB_1A_1\) соответственно, поэтому сечением призмы плоскостью \((MNB_1)\) является треугольник \(MNB_1\), и она делит призму на многогранники \(B_1A_1C_1NM\) и \(B_1MNBAC\).

Объём всей призмы:

\[V = S_{ABC}\cdot AA_1 = \frac{8^2\sqrt{3}}{4}\cdot 8 = 16\sqrt{3}\cdot 8 = 128\sqrt{3}.\]

Многогранник \(B_1A_1C_1NM\) — пирамида с вершиной \(B_1\) и основанием \(A_1C_1NM\), лежащим в грани \(ACC_1A_1\). Её высота — отрезок \(B_1H_1\), где \(H_1\) — середина \(A_1C_1\). Действительно, \(B_1H_1\) — медиана правильного треугольника \(A_1B_1C_1\), поэтому \(B_1H_1 \perp A_1C_1\); кроме того \(CC_1 \perp (A_1B_1C_1)\), значит \(B_1H_1 \perp CC_1\). Прямые \(A_1C_1\) и \(CC_1\) пересекаются и лежат в грани \(ACC_1A_1\), следовательно

\[B_1H_1 \perp \left(ACC_1A_1\right).\]

Как высота правильного треугольника со стороной 8,

\[B_1H_1 = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}.\]

Основание \(A_1C_1NM\) — трапеция: \(A_1M \parallel C_1N\), это части параллельных боковых рёбер. При этом

\[A_1M = 8 - 3 = 5, \qquad C_1N = 8 - 1 = 7,\]

\[S_{A_1C_1NM} = \frac{A_1M + C_1N}{2}\cdot A_1C_1 = \frac{5+7}{2}\cdot 8 = 48.\]

Тогда

\[V_{B_1A_1C_1NM} = \frac{1}{3}\cdot 48\cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3},\]

\[V_{B_1MNBAC} = 128\sqrt{3} - 64\sqrt{3} = 64\sqrt{3}.\]

Объёмы равны, что и требовалось доказать.

б)

Нижний многогранник разрезаем плоскостью \((MNB)\) на две пирамиды с общей гранью \(MNB\):

\[V_{B_1MNBAC} = V_{MNBB_1} + V_{BACNM}.\]

Пирамида \(BACNM\) устроена так же, как в пункте а): вершина \(B\), основание — трапеция \(ACNM\) в грани \(ACC_1A_1\), высота \(BH = 4\sqrt{3}\), где \(H\) — середина \(AC\). Площадь основания:

\[S_{ACNM} = \frac{AM + CN}{2}\cdot AC = \frac{3+1}{2}\cdot 8 = 16,\]

\[V_{BACNM} = \frac{1}{3}\cdot 16\cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}.\]

Отсюда

\[V_{MNBB_1} = 64\sqrt{3} - \frac{64\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}.\]

Ответ: б) \(\dfrac{128\sqrt{3}}{3}\).