а) Обозначим вершины трапеции \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) так, чтобы \(AD\) было меньшим основанием, а \(BC\) — большим. Пусть \(AD = a\), \(BC = b\), а диагонали \(AC = 15\) и \(BD = 8\).

Выполним дополнительное построение: через вершину \(C\) проведём отрезок, параллельный \(BD\) и равный ему по длине. Получим отрезок \(CN\).

Четырёхугольник \(BCND\) — параллелограмм, поэтому \(BC = ND\), и тогда

\[AN = a + b = 17.\]

Рассмотрим треугольник \(ACN\). В нём

\[AC^2 + CN^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2 = AN^2.\]

По обратной теореме Пифагора треугольник \(ACN\) прямоугольный, то есть \(\angle ACN = 90^\circ\). Но этот угол получен параллельным переносом одной из диагоналей, значит и сами диагонали перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Опустим высоту \(CH\) трапеции на прямую, содержащую основание \(AD\). Она же является высотой прямоугольного треугольника \(ACN\), проведённой к гипотенузе.

Площадь треугольника \(ACN\) можно посчитать двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой:

\[\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CN = \frac{1}{2}\cdot CH\cdot AN,\]

\[CH = \frac{AC\cdot CN}{AN} = \frac{15\cdot 8}{17} = \frac{120}{17}.\]

Ответ: б) \(\dfrac{120}{17}\).