В четырёхугольник \(KLMN\) вписана окружность с центром \(O\). Эта окружность касается стороны \(MN\) в точке \(A\). Известно, что \(\angle MNK = 90^\circ\), \(\angle LMN = \angle KLM = 60^\circ\).
а) Докажите, что точка \(A\) лежит на прямой \(LO\).
б) Найдите длину стороны \(MN\), если \(LA = 9\).
а) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырёхугольника, поэтому \(LO\) — биссектриса угла \(L\) и
\[\angle OLM = \angle OLK = 30^\circ.\]
Отрезок \(OA\) — радиус в точку касания, значит \(OA \perp MN\). Предположим, что точка \(A\) не лежит на прямой \(LO\). Тогда \(LMAO\) — четырёхугольник, и сумма его углов равна \(360^\circ\):
\[\angle OLM + \angle LMA + \angle MAO + \angle AOL = 360^\circ,\]
\[30^\circ + 60^\circ + 90^\circ + \angle AOL = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle AOL = 180^\circ.\]
Угол развёрнутый, то есть точка \(A\) всё же лежит на прямой \(LO\). Что и требовалось доказать.
б) Из прямоугольного треугольника \(MAL\) с углом \(60^\circ\) при вершине \(M\):
\[\frac{AL}{ML} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad ML = 9 : \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3},\]
\[\frac{MA}{ML} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad MA = 6\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} = 3\sqrt{3}.\]
Обозначим \(AO = x\), тогда \(OL = 9 - x\). Отрезок \(MO\) — биссектриса угла \(AML\), поэтому по свойству биссектрисы в треугольнике \(AML\)
\[\frac{ML}{MA} = \frac{OL}{AO}, \qquad \frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{9 - x}{x} \quad\Longrightarrow\quad 9 - x = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = 3.\]
Пусть окружность касается стороны \(NK\) в точке \(R\). Углы при \(N\), \(A\) и \(R\) прямые, а \(OA = OR\) как радиусы, поэтому \(ANRO\) — квадрат и \(AN = AO = 3\). Итого
\[MN = MA + AN = 3\sqrt{3} + 3.\]
Ответ: б) \(3 + 3\sqrt{3}\).