Биссектриса угла \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает его сторону \(AD\) в точке \(M\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) параллелограмма пересекаются в точке \(O\). Окружность, описанная вокруг треугольника \(ABM\), касается прямых \(BC\) и \(OM\).
а) Докажите, что \(AB \perp BD\).
б) Отрезки \(AC\) и \(BM\) пересекаются в точке \(K\). Найдите площадь четырёхугольника \(KODM\), если \(OM = 2\).
а) Прямая \(BC\) касается окружности, поэтому угол \(MBC\) между касательной и хордой \(BM\) равен вписанному углу \(BAM\), опирающемуся на ту же хорду:
\[\angle BAM = \angle MBC.\]
Но \(BM\) — биссектриса угла \(ABC\), значит \(\angle MBC = \angle ABM\), и потому \(\angle BAM = \angle ABM\).
Кроме того, \(\angle BMA = \angle CBM\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\). Получилось, что все три угла треугольника \(ABM\) равны, то есть он равносторонний.
Теперь про прямую \(MO\): она тоже касается окружности, поэтому угол \(BMO\) между касательной и хордой \(BM\) равен вписанному \(\angle BAM\). Значит
\[\angle ABM = \angle BMO,\]
а это накрест лежащие углы при прямых \(AB\) и \(MO\) и секущей \(BM\), откуда \(AB \parallel MO\).
Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), а \(MO \parallel AB\), поэтому \(MO\) — средняя линия треугольника \(ABD\), и
\[MD = AM = BM.\]
Значит треугольник \(BMD\) равнобедренный, и медиана \(MO\), проведённая к основанию \(BD\), является в нём и высотой: \(MO \perp BD\). Так как \(AB \parallel MO\), получаем \(AB \perp BD\). Что и требовалось доказать.
б) Разобьём искомый четырёхугольник на два треугольника:
\[S_{KODM} = S_{\triangle MOD} + S_{\triangle MOK}.\]
Треугольник \(ABM\) равносторонний, поэтому \(\angle OMD = 60^\circ\), а треугольник \(MOD\) прямоугольный, значит \(\angle ODM = 30^\circ\). Катет \(OM\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому гипотенуза вдвое больше: \(MD = 4\). По теореме Пифагора
\[OD^2 = MD^2 - OM^2 = 16 - 4 = 12 \quad\Longrightarrow\quad OD = 2\sqrt{3},\]
\[S_{\triangle MOD} = \frac{1}{2}\cdot OM\cdot OD = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.\]
Точка \(O\) — середина \(BD\), поэтому \(S_{\triangle MBO} = S_{\triangle MOD} = 2\sqrt{3}\). Осталось понять, в каком отношении точка \(K\) делит отрезок \(BM\). По теореме Менелая для треугольника \(BDM\) и прямой \(AC\):
\[\frac{BO}{OD}\cdot\frac{DA}{AM}\cdot\frac{MK}{KB} = 1, \qquad 1\cdot 2\cdot\frac{MK}{KB} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{MK}{KB} = \frac{1}{2}.\]
Значит \(MK\) составляет треть от \(MB\), и
\[S_{\triangle MOK} = \frac{S_{\triangle MBO}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.\]
Итого
\[S_{KODM} = 2\sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}.\]
Ответ: б) \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\).