В четырёхугольник \(KLMN\) вписана окружность с центром в точке \(O\). Эта окружность касается стороны \(MN\) в точке \(A\). Известно, что \(\angle MNK = 90^\circ\), \(\angle NKL = \angle KLM = 120^\circ\).
а) Докажите, что точка \(A\) лежит на прямой \(LO\).
б) Найдите длину стороны \(MN\), если \(LA = \sqrt{3}\).
а) Центр вписанной в четырёхугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис, поэтому \(LO\) — биссектриса угла \(MLK\) и
\[\angle MLO = \angle KLO = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.\]
Сумма углов четырёхугольника \(LMNK\) равна \(360^\circ\), значит
\[\angle LMN = 360^\circ - 90^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 30^\circ.\]
Отрезок \(OA\) — радиус, проведённый в точку касания, поэтому \(\angle OAM = 90^\circ\). Предположим, что точка \(O\) не лежит на прямой \(AL\). Тогда \(OAML\) — четырёхугольник, и сумма его углов равна \(360^\circ\):
\[30^\circ + 90^\circ + \angle AOL + 60^\circ = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle AOL = 180^\circ.\]
Развёрнутый угол означает, что точки \(A\), \(O\), \(L\) всё-таки лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
б) В прямоугольном треугольнике \(LAM\) угол при вершине \(M\) равен \(30^\circ\), а катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы, поэтому
\[LM = 2LA = 2\sqrt{3}.\]
По теореме Пифагора
\[MA^2 = LM^2 - LA^2 = 12 - 3 = 9 \quad\Longrightarrow\quad MA = 3.\]
Обозначим \(OA = x\), тогда \(LO = LA - x = \sqrt{3} - x\). Отрезок \(MO\) — биссектриса угла \(AML\), поэтому по свойству биссектрисы в треугольнике \(AML\)
\[\frac{ML}{LO} = \frac{MA}{OA}, \qquad \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - x} = \frac{3}{x} \quad\Longrightarrow\quad x = 6 - 3\sqrt{3}.\]
Пусть окружность касается стороны \(KN\) в точке \(B\). Углы при \(N\), \(A\) и \(B\) прямые, а \(OA = OB\) как радиусы, поэтому \(OANB\) — квадрат, и
\[AN = OA = 6 - 3\sqrt{3}.\]
Итого
\[MN = MA + AN = 3 + 6 - 3\sqrt{3} = 9 - 3\sqrt{3}.\]
Ответ: б) \(9 - 3\sqrt{3}\).