Дан остроугольный треугольник \(ABC\). Известно, что \(\angle BAC = 2\angle ABC\). Точка \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\). Вокруг треугольника \(AOC\) описана окружность, которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\).
а) Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(PAC\) подобны.
б) Найдите \(AB\), если \(BC = 6\) и \(AC = 4\).
а) Обозначим \(\angle ABC = \alpha\), тогда \(\angle BAC = 2\alpha\).
Угол \(ABC\) вписан в описанную окружность треугольника \(ABC\) и опирается на хорду \(AC\). Центральный угол, опирающийся на ту же хорду, вдвое больше:
\[\angle AOC = 2\alpha.\]
Четырёхугольник \(AOPC\) вписан в окружность, описанную около треугольника \(AOC\), причём углы \(AOC\) и \(APC\) опираются на одну и ту же дугу \(AC\) с одной стороны, поэтому
\[\angle APC = \angle AOC = 2\alpha.\]
Теперь у треугольников \(ABC\) и \(PAC\) угол \(C\) общий, а \(\angle APC = \angle BAC = 2\alpha\). Значит они подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
б) Из подобия \(\triangle ABC \sim \triangle PAC\) запишем отношение сходственных сторон:
\[\frac{AC}{CB} = \frac{CP}{AC} \quad\Longrightarrow\quad CP = \frac{AC^2}{CB} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.\]
Из того же подобия \(\angle PAC = \alpha\), то есть \(AP\) делит угол \(BAC = 2\alpha\) пополам и является биссектрисой треугольника \(ABC\). По свойству биссектрисы
\[\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP} \quad\Longrightarrow\quad AB = \frac{AC\cdot PB}{CP}.\]
Здесь \(PB = BC - CP = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}\), поэтому
\[AB = \frac{4\cdot \frac{10}{3}}{\frac{8}{3}} = 5.\]
Ответ: б) \(5\).