а) В трапеции \(BC \parallel AD\), поэтому углы \(DAC\) и \(MCA\) равны как накрест лежащие.

Осталось связать \(\angle MCA\) с \(\angle MAB\). Сторона \(BA\) проходит через конец диаметра \(AD\) и перпендикулярна ему, значит \(BA\) — касательная к окружности.

Угол \(MAB\) — это угол между касательной \(BA\) и хордой \(AM\), а угол \(MCA\) — вписанный, опирающийся на ту же хорду. Такие углы равны. Собираем цепочку:

\[\angle DAC = \angle MCA = \angle MAB.\]

Что и требовалось доказать.

б) Углы \(MCA\) и \(DAC\) — равные вписанные, поэтому опираются на равные дуги, а значит равны и стягивающие их хорды: \(AM = CD\). То есть трапеция равнобокая.

Пусть \(BM = a\), тогда по условию \(BC = 4a\) и \(MC = 3a\).

Продлим \(BC\) за точку \(C\) на отрезок длины \(a\) до точки \(E\). Так как трапеция равнобокая, \(\angle BMA = \angle ECD\), и треугольники \(MBA\) и \(CED\) равны по углу и прилежащим к нему сторонам. Значит угол \(CED\) прямой, и \(ABED\) — прямоугольник.

Теперь заметим, что треугольники \(ABM\) и \(CBA\) подобны: угол \(B\) у них общий, а \(\angle MAB = \angle ACB\) по пункту а). Запишем отношение сходственных сторон:

\[\frac{BM}{AB} = \frac{AB}{BC}, \qquad \frac{a}{6} = \frac{6}{4a} \quad\Longrightarrow\quad 4a^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.\]

Значит \(BC = 12\), а \(AD = BE = BC + a = 15\).

Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны (накрест лежащие углы при \(BC \parallel AD\)), поэтому

\[\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{AO}{AC} = \frac{5}{9}.\]

Треугольники \(AOB\) и \(ACB\) имеют общую высоту из вершины \(B\), поэтому их площади относятся как \(AO : AC\):

\[S_{AOB} = S_{ACB}\cdot\frac{AO}{AC} = \frac{AB\cdot BC}{2}\cdot\frac{5}{9} = \frac{6\cdot 12}{2}\cdot\frac{5}{9} = 20.\]

Ответ: б) \(20\).