В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведена высота \(CH\) из вершины прямого угла, \(AM\) и \(CN\) — биссектрисы треугольников \(ACH\) и \(BCH\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(AM\) и \(CN\) перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка \(MN\), если \(BC = 21\) и \(\sin\angle ABC = \dfrac{2}{5}\).
а) Пусть прямые \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(K\).
Углы \(CAH\) и \(HCB\) равны: оба дополняют угол \(ACH\) до прямого. Значит равны и их половины, которые отсекают биссектрисы:
\[\angle CAM = \angle MAH = \angle HCN = \angle NCB.\]
Рассмотрим треугольники \(AHM\) и \(CKM\). У них \(\angle MAH = \angle KCM\) по доказанному, а \(\angle AMH = \angle CMK\) как вертикальные, значит треугольники подобны по двум углам. Тогда
\[\angle CKM = \angle AHM = 90^\circ,\]
то есть \(AM \perp CN\), что и требовалось доказать.
б) Продлим \(AM\) до пересечения с \(BC\) в точке \(T\).
Точка \(H\) лежит на \(AB\), поэтому луч \(AH\) совпадает с лучом \(AB\), а значит \(\angle CAH = \angle CAB\). Отсюда \(AT\) — биссектриса угла \(A\) не только треугольника \(ACH\), но и всего треугольника \(ABC\).
В треугольнике \(ACN\) отрезок \(AK\) одновременно биссектриса и высота, поэтому этот треугольник равнобедренный и \(CK = KN\). Значит \(AK\) — серединный перпендикуляр к стороне \(CN\), а тогда любая его точка равноудалена от \(C\) и \(N\); в частности
\[CM = MN.\]
Точно так же в треугольнике \(MCT\) отрезок \(CK\) является биссектрисой и высотой, поэтому он равнобедренный и
\[CM = CT.\]
Осталось найти \(CT\). По свойству биссектрисы в треугольнике \(ABC\)
\[\frac{CT}{TB} = \frac{AC}{AB} = \sin\angle ABC = \frac{2}{5}.\]
Так как \(CT + TB = BC = 21\), получаем \(CT = 6\) и \(TB = 15\).
Итого
\[MN = CM = CT = 6.\]
Ответ: б) \(6\).