а) Обозначим \(\angle BAD = \alpha\). Тогда из прямоугольного треугольника \(ABP\) получаем \(\angle ABP = 90^\circ - \alpha\). Противоположные углы параллелограмма равны, \(\angle C = \alpha\), поэтому и \(\angle QBC = 90^\circ - \alpha\).

Углы \(A\) и \(ABC\) односторонние при параллельных \(AD\) и \(BC\), значит \(\angle ABC = 180^\circ - \alpha\). Отсюда

\[\angle PBQ = \angle ABC - \angle ABP - \angle QBC = 180^\circ - \alpha - 2\left(90^\circ - \alpha\right) = \alpha.\]

Теперь сравним треугольники \(BAM\) и \(QBP\). У них

\[AB = BQ, \qquad AM = BP, \qquad \angle BAM = \angle PBQ = \alpha,\]

то есть они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит \(BM = PQ\), что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABP\):

\[AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = 9.\]

Тогда

\[PM = AM - AP = 12 - 9 = 3.\]

Проведём в треугольнике \(PBQ\) высоту \(QH\). Треугольники \(BAM\) и \(QBP\) равны, поэтому равны и их соответственные высоты \(BP\) и \(QH\), а также соответственные отрезки \(MP\) и \(PH\).

Далее, \(QH \perp HP\) и \(HP \perp AM\), значит \(QH \parallel AM\). Тогда высота треугольника \(APQ\), опущенная из точки \(Q\) на сторону \(AP\), равна отрезку

\[HP = PM = 3.\]

Остаётся посчитать площадь:

\[S_{APQ} = \frac{1}{2}\cdot AP\cdot HP = \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 3 = 13{,}5.\]

Ответ: б) \(13{,}5\).