В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины гипотенузы \(AC\) и катета \(BC\) соответственно. Точка \(K\) лежит на катете \(BC\) так, что \(BK : KC = 1 : 3\).
а) Докажите, что \(AN = 2KM\).
б) Пусть \(P\) — точка пересечения отрезков \(AN\) и \(KM\). Найдите длину отрезка прямой \(BP\), заключённого внутри треугольника \(KMN\), если \(AB = 6\), \(BC = 8\).
а) Пусть \(BC = 4x\). Так как \(BK : KC = 1 : 3\), то \(BK = x\), \(KC = 3x\). Точка \(N\) — середина \(BC\), поэтому \(BN = NC = 2x\). Тогда
\[KN = BN - BK = 2x - x = x.\]
Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\), то \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\):
\[MN \parallel AB, \qquad MN = \frac{AB}{2}.\]
Так как \(AB \perp BC\), то и \(MN \perp BC\).
Рассмотрим треугольники \(ABN\) и \(MNK\). Их углы \(ABN\) и \(MNK\) равны \(90^\circ\), и выполнено отношение
\[\frac{BN}{KN} = \frac{2}{1} = \frac{AB}{MN}.\]
Значит, треугольники \(ABN\) и \(MNK\) подобны по углу и двум пропорциональным сторонам. Запишем отношение подобия:
\[\frac{AN}{KM} = \frac{BN}{KN} = \frac{2x}{x} = 2.\]
Таким образом, \(AN = 2KM\), что и требовалось доказать.
б) Пусть \(AB \cap MK = H\). Так как \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), то
\[MN = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3.\]
Из того, что \(BC = 8\), имеем
\[BK = KN = \frac{BC}{4} = 2, \qquad NC = \frac{BC}{2} = 4.\]
Треугольники \(MNK\) и \(HBK\) равны по стороне и двум прилежащим углам: \(BK = KN\), \(\angle MNK = \angle HBK = 90^\circ\), \(\angle MKN = \angle BKH\) как вертикальные. Тогда равны их соответственные стороны:
\[BH = MN = 3, \qquad AH = AB + BH = 6 + 3 = 9.\]
По теореме Пифагора для треугольника \(ABN\):
\[AN = \sqrt{AB^2 + BN^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.\]
Треугольники \(MNP\) и \(HAP\) подобны по двум углам: \(\angle MPN = \angle APH\) как вертикальные, \(\angle PMN = \angle PHA\) как накрест лежащие при \(AB \parallel MN\) и секущей \(MH\). Отношение подобия:
\[\frac{AP}{PN} = \frac{AH}{MN} = \frac{9}{3} = 3,\]
\[AP = \frac{3AN}{4} = \frac{3\cdot 2\sqrt{13}}{4} = \frac{3\sqrt{13}}{2}.\]
В прямоугольном треугольнике \(ABN\):
\[\cos\angle BAN = \frac{AB}{AN} = \frac{6}{2\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}.\]
По теореме косинусов для треугольника \(ABP\):
\[BP^2 = AB^2 + AP^2 - 2\cdot AB\cdot AP\cdot\cos\angle BAN = 36 + \frac{117}{4} - 2\cdot 6\cdot\frac{3\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{45}{4},\]
\[BP = \frac{3\sqrt{5}}{2}.\]
Пусть \(R\) — точка пересечения прямой \(BP\) с \(MN\); по условию нужно найти \(PR\).
Треугольники \(ABP\) и \(NRP\) подобны по двум углам: \(\angle APB = \angle NPR\) как вертикальные, \(\angle BAP = \angle PNR\) как накрест лежащие при \(AB \parallel RN\) и секущей \(AN\). Отношение подобия:
\[\frac{BP}{PR} = \frac{AP}{PN} = 3, \qquad PR = \frac{BP}{3} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}.\]
Ответ: б) \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).