В прямоугольный треугольник \(ABC\) вписана окружность, касающаяся катетов \(AC\), \(BC\) и гипотенузы \(AB\) в точках \(M\), \(E\) и \(K\) соответственно. \(EH\) — перпендикуляр из точки \(E\) на прямую \(MK\).
а) Докажите, что \(EK \parallel CH\).
б) Известно, что \(AC = 15\), \(BC = 8\). Найдите отношение \(CH\) к \(EK\).
а) Четырёхугольник \(MCEH\) вписанный, поскольку
\[\angle C + \angle H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.\]
Следовательно, \(\angle MHC = \angle MEC\).
С другой стороны, \(\angle MEC = \angle MKE\) — это угол между хордой и касательной и вписанный угол, опирающиеся на одну дугу. Значит,
\[\angle MHC = \angle MKE.\]
Это соответственные углы при прямых \(EK\) и \(CH\) и секущей \(MK\), поэтому \(EK \parallel CH\), что и требовалось доказать.
б) По теореме Пифагора гипотенуза
\[AB = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17.\]
Продлим \(MK\) и \(BC\) до пересечения в точке \(P\).
Заметим, что \(MC = CE = r\), где \(r\) — радиус вписанной окружности, а для прямоугольного треугольника
\[r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{15 + 8 - 17}{2} = 3.\]
По свойству отрезков касательных
\[EB = KB = 5, \qquad MA = AK = 12.\]
Применим теорему Менелая для треугольника \(ABC\) и прямой \(MK\):
\[\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CM}{MA} = 1, \qquad \frac{12}{5}\cdot\frac{BP}{PC}\cdot\frac{3}{12} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{BP}{PC} = \frac{5}{3}.\]
Если \(PC = 3x\), то \(BC = 2x = 8\), откуда \(x = 4\) и \(PC = 12\), а \(PE = PC + CE = 12 + 3 = 15\).
Треугольники \(PCH\) и \(PEK\) подобны по двум углам: угол \(P\) общий, а \(\angle PCH = \angle PEK\) из доказанной в пункте а) параллельности. Значит,
\[\frac{CH}{EK} = \frac{PC}{PE} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.\]
Ответ: б) \(\dfrac{4}{5}\).