Что требуется найти

Нужны те значения \(a\), при которых найдётся хотя бы одно число \(x\) из отрезка \([4;\ 5]\), удовлетворяющее сразу всем трём неравенствам.

Важно! «Хотя бы одно решение» — это не «все \(x\) подходят». Достаточно предъявить одну точку. Поэтому решение состоит из двух частей: сначала показываем, какие \(a\) заведомо не годятся, а потом для всех остальных предъявляем конкретный \(x\). Без второй части ответ не доказан.

Шаг 1. Что даёт отрезок

Пусть \(x \in [4;\ 5]\). Тогда

\[x - 2 \geqslant 2 > 0,\]

поэтому корень определён во всех точках отрезка. Кроме того,

\[3 \leqslant x - 1 \leqslant 4.\]

В частности \(x - 1 > 0\), значит на \(x-1\) можно делить, не меняя знак неравенства.

Шаг 2. Выражаем каждое неравенство через параметр

Первое неравенство делим на \(x-1 > 0\):

\[a \geqslant \frac{4}{x-1}.\]

Второе переписываем сразу:

\[a \leqslant 2\sqrt{x-2}.\]

В третьем переносим слагаемые:

\[a > 3x - 14.\]

Итак, при фиксированном \(x\) система равносильна условиям

\[\frac{4}{x-1} \leqslant a \leqslant 2\sqrt{x-2}, \qquad a > 3x-14.\]

Шаг 3. Как ведут себя границы на отрезке

Функция \(\dfrac{4}{x-1}\) убывает, поэтому на \([4;\ 5]\) она меняется от \(\dfrac{4}{3}\) до \(1\).

Функция \(2\sqrt{x-2}\) возрастает: от \(2\sqrt{2}\) до \(2\sqrt{3}\).

Функция \(3x-14\) возрастает: от \(-2\) до \(1\).

Изобразим всё в плоскости \((x;\ a)\). Заштрихована область, где выполнены первые два неравенства, а искомые значения параметра — это её проекция на ось \(a\).

Важно! Третье условие почти везде слабее первого: при \(x < 5\) выполнено \(3x-14 < 1 \leqslant \dfrac{4}{x-1}\), то есть оно не отсекает ничего нового. И только при \(x = 5\) обе нижние границы совпадают и равны \(1\) — вот там строгость и срабатывает. На чертеже видно, что наклонная прямая проходит ровно через угол области.

Шаг 4. Какие значения параметра заведомо не годятся

Пусть при некотором \(a\) нашлось решение \(x \in [4;\ 5]\).

Оценка снизу. Из первого неравенства \(a \geqslant \dfrac{4}{x-1}\), а наименьшее значение правой части на отрезке равно \(\dfrac{4}{5-1} = 1\). Значит

\[a \geqslant 1.\]

Оценка сверху. Из второго неравенства \(a \leqslant 2\sqrt{x-2}\), а наибольшее значение правой части равно \(2\sqrt{5-2} = 2\sqrt{3}\). Значит

\[a \leqslant 2\sqrt{3}.\]

Проверим левый конец. Пусть \(a = 1\). Тогда первое неравенство даёт

\[x - 1 \geqslant 4, \qquad x \geqslant 5,\]

а вместе с \(x \leqslant 5\) остаётся единственная возможность \(x = 5\). Подставим её в третье неравенство:

\[3\cdot 5 < 1 + 14, \qquad 15 < 15,\]

что неверно. Значит \(a = 1\) не подходит, и необходимое условие принимает вид

\[1 < a \leqslant 2\sqrt{3}.\]

Шаг 5. Проверяем, что все оставшиеся значения подходят

Возьмём любое \(a\), для которого \(1 < a \leqslant 2\sqrt{3}\), и проверим точку \(x = 5\). Она принадлежит отрезку, и корень в ней определён: \(5 - 2 = 3 \geqslant 0\).

Первое неравенство:

\[a(5-1) = 4a > 4,\]

так как \(a > 1\).

Второе неравенство:

\[2\sqrt{5-2} = 2\sqrt{3} \geqslant a,\]

так как \(a \leqslant 2\sqrt{3}\).

Третье неравенство:

\[3\cdot 5 = 15 < a + 14,\]

так как это равносильно \(a > 1\).

Все три неравенства выполнены, то есть \(x = 5\) — решение системы. Условие необходимо и достаточно.

Ответ: \(a \in \left(1;\ 2\sqrt{3}\right]\).