Биссектрисы углов \(BAD\) и \(BCD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Через точку \(O\) провели прямую, параллельную основаниям \(BC\) и \(AD\).

а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если \(AO = CO\) и данная прямая делит сторону \(AB\) в отношении \(AM : MB = 1 : 2\).