В правильном тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(MN\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\).

1. Докажите, что прямая \(MN\) перпендикулярна рёбрам \(AB\) и \(CD\).
2. Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(BK = 1\), \(KC = 3\).