Идея решения
Оба уравнения — знакомые фигуры на плоскости \(xOy\). Второе — половина окружности, она стоит на месте. Первое — ромб (квадрат, повёрнутый на \(45^\circ\)), который при изменении \(a\) едет вдоль оси \(Ox\). Будем двигать ромб и считать общие точки.
Шаг 1. Второе уравнение — полуокружность
Корень всегда неотрицателен, поэтому \(y \geqslant 0\). При этом условии возводим в квадрат:
\[y^2 = 4 - x^2,\]
\[x^2 + y^2 = 4.\]
Это окружность с центром \((0;\ 0)\) и радиусом \(2\). Из неё берём только верхнюю половину, где \(y \geqslant 0\): она идёт от точки \((-2;\ 0)\) до точки \((2;\ 0)\).
Важно! Нижняя половина окружности графиком не является. Касания и пересечения с ней — «ложные», их нельзя засчитывать.
Шаг 2. Первое уравнение — ромб
Раскроем модули. Они меняют знак на прямых \(x = a\) и \(y = 0\), которые делят плоскость на четыре части.
При \(x \geqslant a,\ y \geqslant 0\):
\[x - a + y = 2,\]
\[y = -x + 2 + a.\]
При \(x \leqslant a,\ y \geqslant 0\):
\[-x + a + y = 2,\]
\[y = x + 2 - a.\]
При \(x \geqslant a,\ y \leqslant 0\):
\[y = x - 2 - a.\]
При \(x \leqslant a,\ y \leqslant 0\):
\[y = -x - 2 + a.\]
Получаются четыре отрезка, которые образуют ромб с центром \((a;\ 0)\) и вершинами
\[(a-2;\ 0),\quad (a;\ 2),\]
\[(a+2;\ 0),\quad (a;\ -2).\]
Нижние стороны ромба лежат там, где \(y \leqslant 0\), а полуокружность — там, где \(y \geqslant 0\). Встретиться они могут только на оси \(Ox\), то есть в вершинах \((a \pm 2;\ 0)\), а эти точки принадлежат и верхним сторонам. Поэтому достаточно считать общие точки полуокружности с двумя верхними сторонами:
левая сторона — от \((a-2;\ 0)\) до \((a;\ 2)\), на прямой \(y = x + 2 - a\);
правая сторона — от \((a;\ 2)\) до \((a+2;\ 0)\), на прямой \(y = -x + 2 + a\).
Шаг 3. Симметрия: хватит разобрать \(a \leqslant 0\)
Если \((x;\ y)\) — решение при параметре \(a\), то \((-x;\ y)\) — решение при параметре \(-a\). Действительно,
\[\left|-x - (-a)\right| = |x - a|,\]
а \(\sqrt{4 - x^2}\) от замены \(x\) на \(-x\) не меняется. Значит, при \(a\) и при \(-a\) решений поровну: ромб просто отражается относительно оси \(Oy\). Разберём \(a \leqslant 0\), а ответ для \(a > 0\) получим отражением.
Шаг 4. Правая сторона при \(a \leqslant 0\)
Её верхний конец \((a;\ 2)\) лежит вне круга: \(a^2 + 4 > 4\) при \(a \ne 0\).
Её нижний конец \((a+2;\ 0)\) лежит внутри круга, когда \(|a+2| < 2\), то есть при \(-4 < a < 0\). Отрезок, у которого один конец снаружи, а другой внутри, пересекает окружность ровно один раз. Это одна общая точка.
При \(a = -4\) нижний конец — ровно точка \((-2;\ 0)\) полуокружности. Больше общих точек нет: вся сторона лежит при \(x \leqslant -2\), а на полуокружности \(x \geqslant -2\).
При \(a < -4\) вся правая сторона лежит левее \(x = -2\), общих точек нет.
Итог для правой стороны: при \(a < -4\) — нет точек, при \(-4 \leqslant a < 0\) — одна.
Шаг 5. Левая сторона при \(a < 0\): ищем касание
Оба её конца лежат вне круга: \((a-2;\ 0)\) — потому что \(|a-2| > 2\), а \((a;\ 2)\) — как выше. Значит, левая сторона может касаться полуокружности или пересекать её дважды.
Прямая \(y = x + 2 - a\) касается окружности, когда уравнение
\[x^2 + (x + 2 - a)^2 = 4\]
имеет ровно один корень. Раскроем скобки:
\[2x^2 + 2(2-a)x +\]
\[+\ (2-a)^2 - 4 = 0.\]
Дискриминант, делённый на 4:
\[\frac{D}{4} = (2-a)^2 - 2\left((2-a)^2 - 4\right),\]
\[\frac{D}{4} = 8 - (2-a)^2.\]
Касание при \(D = 0\):
\[(2-a)^2 = 8,\]
\[2 - a = \pm 2\sqrt2,\]
\[a = 2 \mp 2\sqrt2.\]
Нам нужно \(a < 0\), поэтому
\[a = 2 - 2\sqrt2 \approx -0{,}83.\]
Точка касания: \(x = -\frac{2-a}{2} = -\sqrt2\), \(y = \sqrt2\). У неё \(y > 0\), значит, касание происходит с настоящей, верхней половиной окружности. И \(x = -\sqrt2\) лежит между \(a - 2\) и \(a\), то есть на самой стороне ромба.
Важно! Корень \(a = 2 + 2\sqrt2\) даёт касание прямой с нижней половиной окружности: точка касания \(\left(\sqrt2;\ -\sqrt2\right)\). Её нельзя брать — это частая потеря балла.
При \(a < 2 - 2\sqrt2\) дискриминант отрицателен: прямая проходит мимо, общих точек нет.
При \(2 - 2\sqrt2 < a < 0\) прямая пересекает окружность в двух точках, и обе лежат на левой стороне: концы стороны снаружи круга, а середина хорды (точка \(\left(-\frac{2-a}{2};\ \frac{2-a}{2}\right)\)) — внутри и на стороне. Это две общие точки с \(y > 0\).
Шаг 6. Считаем решения при \(a \leqslant 0\)
Складываем точки левой и правой сторон (общая точка сторон \((a;\ 2)\) лежит вне круга, поэтому ничего не посчитано дважды):
при \(a < -4\): \(0 + 0 = 0\) решений;
при \(a = -4\): \(0 + 1 = 1\) решение;
при \(-4 < a < 2 - 2\sqrt2\): \(0 + 1 = 1\) решение;
при \(a = 2 - 2\sqrt2\): \(1 + 1 = 2\) решения;
при \(2 - 2\sqrt2 < a < 0\): \(2 + 1 = 3\) решения.
При \(a = 0\) проверяем напрямую: вершины ромба \((-2;\ 0)\), \((0;\ 2)\), \((2;\ 0)\) лежат на полуокружности, а другие точки сторон лежат внутри круга. Это 3 решения.
Значит, при \(a \leqslant 0\) ровно одно решение бывает при
\[a \in \left[-4;\ 2 - 2\sqrt2\right).\]
Шаг 7. Отражаем на \(a > 0\)
По шагу 3 при \(a\) и \(-a\) решений одинаково. Отражаем найденный промежуток:
\[a \in \left(-2 + 2\sqrt2;\ 4\right].\]
Важно! Следите за концами: \(a = \pm 4\) входят в ответ (одна общая точка — вершина ромба), а \(a = \pm\left(2 - 2\sqrt2\right)\) не входят (там уже две точки).
Шаг 8. Ответ
\[a \in \left[-4;\ 2 - 2\sqrt2\right) \cup\]
\[\cup \left(-2 + 2\sqrt2;\ 4\right].\]
Ответ: \(a \in \left[-4;\ 2-2\sqrt2\right) \cup \left(-2+2\sqrt2;\ 4\right]\)
