№19. Задача с параметром

Шаг 1. Замена и группировка

Обозначим

\[t = 2^x > 0,\qquad b = 3|a| + 2.\]

Заметим, что \(4^x = t^2\), а выражение \(2 + 3|a|\) — это и есть \(b\). Уравнение принимает вид

\[t^2 + (a - 6)t = b\,t + (a - 6)\,b.\]

Переносим всё влево и группируем по парам:

\[t^2 - b\,t + (a - 6)t - (a - 6)b = 0,\]

\[t(t - b) + (a - 6)(t - b) = 0,\qquad (t - b)\left(t + a - 6\right) = 0.\]

Важно! Громоздкое выражение \(3|a| + 2\) специально повторяется в условии дважды — именно оно и выносится за скобку. Увидев в задаче одинаковый «кусок» в разных местах, обозначьте его буквой: запись сразу станет короткой.

Шаг 2. Два значения t

\[t_1 = b = 3|a| + 2;\qquad t_2 = 6 - a.\]

Каждому допустимому значению \(t > 0\) отвечает ровно один \(x = \log_2 t\), и разным \(t\) — разные \(x\). Поэтому «единственное решение уравнения» означает «единственное подходящее значение \(t\)».

Первый корень есть всегда: \(t_1 = 3|a| + 2 \ge 2 > 0\) при любом \(a\).

Второй корень существует, только если \(t_2 = 6 - a > 0\), то есть при \(a < 6\).

Шаг 3. Когда решение ровно одно

Вариантов ровно два.

Вариант А: второй корень не годится как значение \(t\).

\[6 - a \le 0 \;\Longleftrightarrow\; a \ge 6.\]

Тогда остаётся только \(t_1\) — решение единственное.

Вариант Б: корни совпали.

\[3|a| + 2 = 6 - a \;\Longleftrightarrow\; 3|a| = 4 - a.\]

Раскрываем модуль по знаку \(a\):

\[a \ge 0:\quad 3a = 4 - a \;\Longrightarrow\; a = 1\ —\ \text{подходит (}1 \ge 0\text{)};\]

\[a < 0:\quad -3a = 4 - a \;\Longrightarrow\; -2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = -2\ —\ \text{подходит (}-2 < 0\text{)}.\]

Важно! После раскрытия модуля обязательно проверяйте, попал ли найденный корень в «свой» случай. Если бы из ветки \(a \ge 0\) вышло отрицательное число, его пришлось бы отбросить.

На рисунке это две точки пересечения «галочки» \(t = 3|a| + 2\) с прямой \(t = 6 - a\): \((-2;\,8)\) и \((1;\,5)\). Правее \(a = 6\) прямая уходит под ось — там второй корень перестаёт существовать, и серым пунктиром показан именно этот «мёртвый» участок.

Шаг 4. Проверка границы a = 6

При \(a = 6\) получаем \(t_2 = 0\), но \(2^x\) нулём не бывает — второй корень отпадает, остаётся один. Значит \(a = 6\) входит в ответ.

Ответ: \(a \in \{-2;\ 1\} \cup [6;\ +\infty)\)

Шаг 1. Переписываем всё через a

\[2a \le x \;\Longleftrightarrow\; a \le \dfrac{x}{2};\qquad x + a \le 6 \;\Longleftrightarrow\; a \le 6 - x.\]

Со вторым неравенством поступим аккуратно — соберём полный квадрат по \(x\):

\[6x > x^2 + a^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - 6x + a^2 < 0 \;\Longleftrightarrow\; (x - 3)^2 + a^2 < 9.\]

Важно! Получился круг с центром \((3;\,0)\) и радиусом \(3\) в плоскости \((x;\,a)\), причём открытый — граница не входит, неравенство строгое. Увидеть окружность в выражении \(6x > x^2 + a^2\) — главный шаг задачи.

Шаг 2. Какая из двух прямых режет сильнее

Сверху область ограничивают две прямые. Сравним их на отрезке \([4;\,5]\):

\[\dfrac{x}{2}\ \text{принимает значения от } 2\ \text{до } 2{,}5;\qquad 6 - x\ \text{— от } 2\ \text{до } 1.\]

Значит \(6 - x \le \dfrac{x}{2}\) на всём отрезке (равенство только при \(x = 4\)), и верхняя граница области — прямая \(a = 6 - x\).

Шаг 3. Ищем самое «широкое» место

На отрезке область зажата между нижней полуокружностью и прямой \(a = 6 - x\):

\[-\sqrt{9 - (x-3)^2} < a \le 6 - x.\]

Верхняя граница \(6 - x\) убывает — значит максимум она даёт при \(x = 4\): \(a \le 2\).

Нижняя граница \(-\sqrt{9 - (x-3)^2}\): под корнем \(9 - (x-3)^2\) при росте \(x\) от \(4\) к \(5\) убывает (с \(8\) до \(5\)), поэтому сама граница поднимается — то есть минимальна тоже при \(x = 4\):

\[a > -\sqrt{9 - 1} = -\sqrt8 = -2\sqrt2.\]

Важно! Оба ограничения оказались самыми мягкими в одной и той же точке \(x = 4\). Значит проверять другие \(x\) не нужно: что проходит при \(x = 4\), то и есть ответ. Если бы «самые мягкие» точки у границ были разные, пришлось бы объединять по всем \(x\) отрезка.

Шаг 4. Ответ

Подставим \(x = 4\) прямо в исходную систему:

\[2a \le 4 \;\Longrightarrow\; a \le 2;\qquad 24 > 16 + a^2 \;\Longrightarrow\; a^2 < 8 \;\Longrightarrow\; |a| < 2\sqrt2;\qquad 4 + a \le 6 \;\Longrightarrow\; a \le 2.\]

Пересечение: \(-2\sqrt2 < a \le 2\) (напомним, \(2\sqrt2 \approx 2{,}83\), так что условие \(a \le 2\) жёстче, чем \(a < 2\sqrt2\)).

Ответ: \(a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\right]\)

Что значит «хотя бы одно решение на отрезке»

Нужно, чтобы нашлось хотя бы одно число \(x\) из отрезка \([3;\,4]\), удовлетворяющее всем трём неравенствам сразу. Если такого \(x\) нет — значение \(a\) не подходит.

Важно! Это не «неравенства выполняются при всех \(x\) из отрезка». Формулировки «хотя бы при одном» и «при всех» дают противоположные ответы — читайте условие дословно.

Шаг 1. Выражаем a через x

Удобнее всего нарисовать картинку в плоскости \((x;\,a)\): тогда каждому \(a\) отвечает горизонтальная прямая, и вопрос превращается в «задевает ли эта прямая нужную область над отрезком \([3;\,4]\)».

Первое неравенство. На отрезке \(x \ge 3 > 0\), поэтому делим на \(x\) без смены знака:

\[ax \ge 2 \;\Longleftrightarrow\; a \ge \dfrac{2}{x}.\]

Второе неравенство. Корень определён (\(x \ge 3 > 1\)) и неотрицателен:

\[\sqrt{x - 1} > a \;\Longleftrightarrow\; a < \sqrt{x - 1}.\]

Третье неравенство.

\[3x \le 2a + 11 \;\Longleftrightarrow\; a \ge \dfrac{3x - 11}{2}.\]

Шаг 2. Какое из ограничений снизу главнее

Снизу область режут сразу две линии: гипербола \(a = \dfrac2x\) и прямая \(a = \dfrac{3x-11}{2}\). Сравним их на отрезке. Приравняем:

\[\dfrac{2}{x} = \dfrac{3x - 11}{2} \;\Longrightarrow\; 4 = 3x^2 - 11x \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 11x - 4 = 0,\]

\[D = 121 + 48 = 169,\qquad x = \dfrac{11 \pm 13}{6} \;\Longrightarrow\; x = 4 \ \text{или}\ x = -\dfrac13.\]

На отрезке они встречаются ровно в точке \(x = 4\), а левее (проверим в \(x = 3{,}5\): \(\frac{2}{3{,}5} \approx 0{,}57\) против \(\frac{10{,}5-11}{2} = -0{,}25\)) гипербола выше. Значит на всём отрезке

\[\dfrac{2}{x} \ge \dfrac{3x - 11}{2},\]

и нижней границей служит именно гипербола. Третье неравенство оказалось следствием первого — но убедиться в этом нужно, а не угадать.

Шаг 3. Проекция области на ось a

Итак, область — это то, что лежит над гиперболой и строго под кривой корня, при \(3 \le x \le 4\). Обе границы монотонны, поэтому «самое широкое» место — у правого края отрезка:

\[x = 3:\quad a \in \left[\dfrac23;\ \sqrt2\right);\qquad x = 4:\quad a \in \left[\dfrac12;\ \sqrt3\right).\]

Гипербола \(\dfrac2x\) убывает, поэтому наименьшая нижняя граница достигается при \(x = 4\) и равна \(\dfrac12\). Корень \(\sqrt{x-1}\) растёт, поэтому наибольшая верхняя граница — тоже при \(x = 4\), она равна \(\sqrt3\).

Значит годится ровно то \(a\), для которого подходит \(x = 4\):

\[\dfrac12 \le a < \sqrt3.\]

Важно! Проверим, что \(x = 4\) действительно всегда годится. При \(a \ge \frac12\): \(4a \ge 2\) ✓. При \(a < \sqrt3\): \(\sqrt{4-1} = \sqrt3 > a\) ✓. Третье: \(3\cdot4 = 12 \le 2a + 11\) ⟺ \(a \ge \frac12\) ✓. Все три сошлись.

Важно! Левая граница \(\frac12\) входит (первое и третье неравенства нестрогие), правая \(\sqrt3\) — нет (второе неравенство строгое). Тип скобки целиком определяется знаком в условии.

Ответ: \(a \in \left[\dfrac12;\ \sqrt3\right)\)

Шаг 1. ОДЗ

Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма строго положителен:

\[\begin{cases}7x - 4 \ge 0,\\ x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases}x \ge \dfrac47,\\ x^2 - 8x + 17 > a^2.\end{cases}\]

Важно! У корня условие нестрогое (\(\ge\)), у логарифма — строгое (\(>\)). Разница принципиальна: точка \(x = \frac47\) в ОДЗ входит и даёт корень, а точка, где аргумент логарифма равен нулю, — нет.

Шаг 2. Произведение равно нулю

Первый множитель:

\[\sqrt{7x - 4} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac47.\]

Это число лежит на отрезке \([0;\,4]\) (\(\frac47 \approx 0{,}57\)). Но корнем оно будет только если при \(x = \frac47\) логарифм вообще определён. Подставим:

\[\left(\dfrac47\right)^2 - 8\cdot\dfrac47 + 17 - a^2 = \dfrac{16}{49} - \dfrac{224}{49} + \dfrac{833}{49} - a^2 = \dfrac{625}{49} - a^2.\]

Условие \(\dfrac{625}{49} - a^2 > 0\) равносильно

\[a^2 < \dfrac{625}{49} \;\Longleftrightarrow\; |a| < \dfrac{25}{7}.\]

Второй множитель:

\[\ln\left(x^2 - 8x + 17 - a^2\right) = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1,\]

\[x^2 - 8x + 16 = a^2,\qquad (x - 4)^2 = a^2,\qquad x = 4 \pm |a|.\]

Эти значения автоматически проходят условие на логарифм (его аргумент там равен единице), но должны удовлетворять \(x \ge \dfrac47\).

Шаг 3. Картинка в плоскости (x; a)

Синий отрезок — корень \(x = \frac47\); он обрывается на уровнях \(a = \pm\frac{25}{7}\), где логарифм перестаёт существовать (концы выколоты). Оранжевые прямые \(a = 4 - x\) и \(a = x - 4\) — это корни \(x = 4 \pm |a|\); серым пунктиром показаны их куски при \(x < \frac47\), запрещённые ОДЗ. Пунктирная вертикаль \(x = 4\) — правый конец отрезка отбора.

Шаг 4. Считаем корни

Картинка симметрична относительно оси \(a = 0\), поэтому достаточно разобрать \(a \ge 0\) и в конце отразить. Обозначим \(t = |a|\).

Корень \(x = 4 + t\) попадает на отрезок \([0;\,4]\) только при \(t = 0\) (тогда это \(x = 4\)). При \(t > 0\) он правее четвёрки — не в счёт.

Корень \(x = 4 - t\) лежит на отрезке и проходит ОДЗ, когда

\[4 - t \ge \dfrac47 \;\Longleftrightarrow\; t \le \dfrac{24}{7}.\]

Теперь перебираем:

\[t = 0:\ \text{корни } \dfrac47\ \text{и } 4 \ —\ \textbf{два};\]

\[0 < t < \dfrac{24}{7}:\ \text{корни } \dfrac47\ \text{и } 4 - t,\ \text{они различны} \ —\ \textbf{два};\]

\[t = \dfrac{24}{7}:\ 4 - t = \dfrac47\ —\ \text{корни слились}, \ \textbf{один};\]

\[\dfrac{24}{7} < t < \dfrac{25}{7}:\ \text{второй корень вылетел из ОДЗ}, \ \text{остался } \dfrac47\ —\ \textbf{один};\]

\[t \ge \dfrac{25}{7}:\ \text{и } \dfrac47\ \text{перестал быть корнем} \ —\ \textbf{ни одного}.\]

Важно! Промежуток ответа очень узкий: \(\frac{24}{7} \approx 3{,}43\) и \(\frac{25}{7} \approx 3{,}57\). Разница всего \(\frac17\). По рисунку такую щель не разглядеть — её даёт только счёт. Рисунок нужен, чтобы понять логику, а границы считаем в столбик.

Итак, \(|a| \in \left[\dfrac{24}{7};\ \dfrac{25}{7}\right)\). Раскрываем модуль.

Ответ: \(a \in \left(-\dfrac{25}{7};\ -\dfrac{24}{7}\right] \cup \left[\dfrac{24}{7};\ \dfrac{25}{7}\right)\)

Что требуется найти

Нужны те значения \(a\), при которых найдётся хотя бы одно число \(x\) из отрезка \([4;\ 5]\), удовлетворяющее сразу всем трём неравенствам.

Важно! «Хотя бы одно решение» — это не «все \(x\) подходят». Достаточно предъявить одну точку. Поэтому решение состоит из двух частей: сначала показываем, какие \(a\) заведомо не годятся, а потом для всех остальных предъявляем конкретный \(x\). Без второй части ответ не доказан.

Шаг 1. Что даёт отрезок

Пусть \(x \in [4;\ 5]\). Тогда

\[x - 2 \geqslant 2 > 0,\]

поэтому корень определён во всех точках отрезка. Кроме того,

\[3 \leqslant x - 1 \leqslant 4.\]

В частности \(x - 1 > 0\), значит на \(x-1\) можно делить, не меняя знак неравенства.

Шаг 2. Выражаем каждое неравенство через параметр

Первое неравенство делим на \(x-1 > 0\):

\[a \geqslant \frac{4}{x-1}.\]

Второе переписываем сразу:

\[a \leqslant 2\sqrt{x-2}.\]

В третьем переносим слагаемые:

\[a > 3x - 14.\]

Итак, при фиксированном \(x\) система равносильна условиям

\[\frac{4}{x-1} \leqslant a \leqslant 2\sqrt{x-2}, \qquad a > 3x-14.\]

Шаг 3. Как ведут себя границы на отрезке

Функция \(\dfrac{4}{x-1}\) убывает, поэтому на \([4;\ 5]\) она меняется от \(\dfrac{4}{3}\) до \(1\).

Функция \(2\sqrt{x-2}\) возрастает: от \(2\sqrt{2}\) до \(2\sqrt{3}\).

Функция \(3x-14\) возрастает: от \(-2\) до \(1\).

Изобразим всё в плоскости \((x;\ a)\). Заштрихована область, где выполнены первые два неравенства, а искомые значения параметра — это её проекция на ось \(a\).

Важно! Третье условие почти везде слабее первого: при \(x < 5\) выполнено \(3x-14 < 1 \leqslant \dfrac{4}{x-1}\), то есть оно не отсекает ничего нового. И только при \(x = 5\) обе нижние границы совпадают и равны \(1\) — вот там строгость и срабатывает. На чертеже видно, что наклонная прямая проходит ровно через угол области.

Шаг 4. Какие значения параметра заведомо не годятся

Пусть при некотором \(a\) нашлось решение \(x \in [4;\ 5]\).

Оценка снизу. Из первого неравенства \(a \geqslant \dfrac{4}{x-1}\), а наименьшее значение правой части на отрезке равно \(\dfrac{4}{5-1} = 1\). Значит

\[a \geqslant 1.\]

Оценка сверху. Из второго неравенства \(a \leqslant 2\sqrt{x-2}\), а наибольшее значение правой части равно \(2\sqrt{5-2} = 2\sqrt{3}\). Значит

\[a \leqslant 2\sqrt{3}.\]

Проверим левый конец. Пусть \(a = 1\). Тогда первое неравенство даёт

\[x - 1 \geqslant 4, \qquad x \geqslant 5,\]

а вместе с \(x \leqslant 5\) остаётся единственная возможность \(x = 5\). Подставим её в третье неравенство:

\[3\cdot 5 < 1 + 14, \qquad 15 < 15,\]

что неверно. Значит \(a = 1\) не подходит, и необходимое условие принимает вид

\[1 < a \leqslant 2\sqrt{3}.\]

Шаг 5. Проверяем, что все оставшиеся значения подходят

Возьмём любое \(a\), для которого \(1 < a \leqslant 2\sqrt{3}\), и проверим точку \(x = 5\). Она принадлежит отрезку, и корень в ней определён: \(5 - 2 = 3 \geqslant 0\).

Первое неравенство:

\[a(5-1) = 4a > 4,\]

так как \(a > 1\).

Второе неравенство:

\[2\sqrt{5-2} = 2\sqrt{3} \geqslant a,\]

так как \(a \leqslant 2\sqrt{3}\).

Третье неравенство:

\[3\cdot 5 = 15 < a + 14,\]

так как это равносильно \(a > 1\).

Все три неравенства выполнены, то есть \(x = 5\) — решение системы. Условие необходимо и достаточно.

Ответ: \(a \in \left(1;\ 2\sqrt{3}\right]\).