Как вообще подступиться
Параметр \(a\) стоит в уравнении отдельным слагаемым и больше нигде не встречается. Значит, можно разнести уравнение на две функции:
\[f(x) = \sqrt{1-4x},\]
\[g(x) = a - 3|x|.\]
График \(f\) нарисован раз и навсегда — он от \(a\) не зависит. А график \(g\) при изменении \(a\) просто сдвигается вверх или вниз, не меняя формы. Корни уравнения — это точки, где два графика встречаются. Остаётся поднимать вторую картинку снизу вверх и следить, сколько общих точек получается.
Важно! Такой разбор работает только потому, что \(a\) входит линейно и отдельно. Если бы параметр стоял, например, под корнем, картинка при изменении \(a\) меняла бы форму, и «двигать» её было бы нельзя.
Шаг 1. Разбираем левую часть
Корень существует, когда подкоренное выражение неотрицательно:
\[1-4x \geqslant 0,\]
\[x \leqslant \frac{1}{4}.\]
При \(x = \frac14\) получаем \(f = 0\); при \(x = 0\) получаем \(f = \sqrt{1} = 1\). Чем меньше \(x\), тем больше подкоренное выражение, поэтому \(f\) убывает. Её график — половина параболы, лежащей на боку: она начинается в точке \(\left(\frac14;\ 0\right)\) и уходит влево вверх.
Важно! Арифметический корень никогда не бывает отрицательным. Поэтому весь график \(f\) лежит не ниже оси \(Ox\) — ниже оси общих точек искать бессмысленно.
Шаг 2. Разбираем правую часть
Функция \(g(x) = a - 3|x|\) — это «галочка», направленная вершиной вверх:
\[g(x) = a + 3x \ \text{ при } x \leqslant 0,\]
\[g(x) = a - 3x \ \text{ при } x \geqslant 0.\]
Вершина находится в точке \((0;\ a)\), обе ветви — прямые с угловыми коэффициентами \(+3\) и \(-3\). Число \(a\) — это в точности высота вершины.
Шаг 3. Первое важное положение: галочка дошла до конца корня
Пока галочка низко, она вся проходит под графиком корня, и общих точек нет. Первое касание случится, когда правая ветвь дойдёт до правого конца корня — до точки \(\left(\frac14;\ 0\right)\). Подставим её в правую ветвь:
\[a = 3\cdot\frac14 = \frac34.\]
Назовём это положением I. При \(a = \frac34\) общая точка ровно одна, при \(a < \frac34\) их нет вовсе.
Шаг 4. Второе положение: вершина села на график корня
Продолжаем поднимать галочку. Её вершина \((0;\ a)\) попадёт на график корня, когда
\[a = f(0) = \sqrt{1 - 0} = 1.\]
Это положение II. Здесь общих точек уже две: сама вершина \((0;\ 1)\) и ещё одна точка на правой ветви (её видно на рисунке). А между положениями I и II общая точка была только одна.
Шаг 5. Третье положение: касание правой ветви
Если поднимать дальше, правая ветвь в какой-то момент коснётся графика корня и после этого оторвётся от него. Найдём это значение \(a\). На правой ветви \(x \geqslant 0\), и уравнение принимает вид
\[\sqrt{1-4x} = a - 3x.\]
Возведём обе части в квадрат и приведём к стандартному виду:
\[1 - 4x = a^2 - 6ax + 9x^2,\]
\[9x^2 - (6a-4)x + a^2 - 1 = 0.\]
Касание — это ровно один корень, то есть нулевой дискриминант:
\[D = (6a-4)^2 - 36\left(a^2-1\right),\]
\[D = 36a^2 - 48a + 16 - 36a^2 + 36,\]
\[D = -48a + 52.\]
Отсюда
\[-48a + 52 = 0,\]
\[a = \frac{52}{48} = \frac{13}{12}.\]
Это положение III. Проверим, что касание настоящее, а не посторонний корень:
\[x = \frac{6a-4}{18} = \frac{\frac{13}{2}-4}{18} = \frac{5}{36}.\]
Это число лежит в нужном промежутке \(\left[0;\ \frac14\right]\), и правая часть в нём неотрицательна:
\[a - 3x = \frac{13}{12} - \frac{5}{12} = \frac{2}{3} > 0.\]
Важно! Возведение в квадрат — «неравносильный» шаг: оно может породить лишние корни. Поэтому после него обязательно проверяем, что найденная точка действительно подходит: \(x\) попадает в нужный промежуток, а правая часть неотрицательна. Без этой проверки решение считается неполным.
Шаг 6. Сколько корней при каждом \(a\)
Соберём всё вместе. Отдельно отметим левую ветвь: на ней \(x \leqslant 0\), там \(f(x) \geqslant 1\), а сама ветвь \(a + 3x\) не превосходит \(a\). Поэтому левая ветвь даёт общую точку тогда и только тогда, когда \(a > 1\), и такая точка ровно одна.
Итог по числу корней:
при \(a < \frac34\) — корней нет;
при \(a = \frac34\) — один корень;
при \(\frac34 < a < 1\) — один корень;
при \(a = 1\) — два корня;
при \(1 < a < \frac{13}{12}\) — три корня;
при \(a = \frac{13}{12}\) — два корня;
при \(a > \frac{13}{12}\) — один корень.
Шаг 7. Отбираем нужное
Нас просят «больше двух корней», то есть не менее трёх. Три корня получаются только между положениями II и III:
\[a \in \left(1;\ \frac{13}{12}\right).\]
Важно! Концы не входят! При \(a = 1\) и при \(a = \frac{13}{12}\) корней ровно два, а «больше двух» означает строго больше. Потеря или, наоборот, лишнее включение концов — самая частая ошибка в этом номере.
Важно! «Больше двух корней» — это не то же самое, что «ровно три корня». Формулировки в №18 всегда читаем буквально: «ровно», «не менее», «больше» — каждое слово меняет ответ.
Ответ: \(a \in \left(1;\ \dfrac{13}{12}\right)\)
