№19. Задача с параметром

Идея решения

В уравнение \(x\) входит только через \(x^4\) и \(\cos\frac{x}{2}\) — обе функции чётные. Значит, решения ходят парами \(x\) и \(-x\), и единственное решение может быть только \(x = 0\). Это даёт кандидатов для \(a\), которые потом обязательно проверяем.

Шаг 1. Решения ходят парами

Пусть \(x_0\) — решение. Подставим \(-x_0\):

\[(-x_0)^4 = x_0^4,\]

\[\cos\frac{-x_0}{2} = \cos\frac{x_0}{2}.\]

Обе части уравнения не изменились, значит, \(-x_0\) — тоже решение. Если \(x_0 \ne 0\), это другое число, и решений уже два. Поэтому единственным решением может быть только

\[x_0 = 0.\]

Важно! Это необходимое условие, а не достаточное. Из него получаются только кандидаты для \(a\), и каждого нужно проверить.

Шаг 2. Находим кандидатов

Подставим \(x = 0\). Так как \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\) и \(\cos 0 = 1\):

\[|a| = 1 + a^2 - 2a + 1,\]

\[|a| = a^2 - 2a + 2.\]

Важно! \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\), а не \(a\). Если забыть модуль, можно потерять или приобрести лишние значения.

При \(a \geqslant 0\):

\[a = a^2 - 2a + 2,\]

\[a^2 - 3a + 2 = 0,\]

\[(a - 1)(a - 2) = 0,\]

\[a = 1\ \text{ или }\ a = 2.\]

При \(a < 0\):

\[-a = a^2 - 2a + 2,\]

\[a^2 - a + 2 = 0.\]

Дискриминант \(1 - 8 < 0\) — корней нет.

Итак, кандидаты: \(a = 1\) и \(a = 2\).

Шаг 3. Проверка \(a = 1\)

Уравнение принимает вид

\[\sqrt[4]{1 + x^4} = \cos\frac{x}{2}.\]

Оценим обе части. Так как \(x^4 \geqslant 0\),

\[\sqrt[4]{1 + x^4} \geqslant 1.\]

А косинус не больше единицы:

\[\cos\frac{x}{2} \leqslant 1.\]

Левая часть не меньше 1, правая не больше 1. Равенство возможно, только если обе части равны 1. Левая равна 1 только при \(x^4 = 0\), то есть при \(x = 0\). При \(x = 0\) и правая часть равна \(\cos 0 = 1\). Решение ровно одно: \(x = 0\).

Значит, \(a = 1\) подходит.

Шаг 4. Проверка \(a = 2\)

Уравнение принимает вид

\[\sqrt[4]{16 + x^4} = \cos\frac{x}{2} + 1.\]

Снова оцениваем:

\[\sqrt[4]{16 + x^4} \geqslant \sqrt[4]{16} = 2,\]

\[\cos\frac{x}{2} + 1 \leqslant 2.\]

Равенство возможно, только если обе части равны 2. Левая равна 2 только при \(x = 0\), а при \(x = 0\) правая равна \(1 + 1 = 2\). Решение ровно одно: \(x = 0\).

Значит, \(a = 2\) подходит.

Важно! Метод оценки («левая часть не меньше \(m\), правая не больше \(m\)») — главный инструмент проверки в задачах на чётность. Запишите обе оценки явно, одних слов «графики касаются» недостаточно.

Шаг 5. Ответ

\[a \in \{1;\ 2\}.\]

Ответ: \(a \in \{1;\ 2\}\)

Идея решения

Делаем замену и решаем квадратное уравнение — у него удобные корни. Потом смотрим на график разности модулей: это ступенька с двумя горизонтальными «полочками». Одно решение получается только на наклонном участке.

Шаг 1. Замена и корни

Пусть

\[t = |x - 8| - |x - a|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 - 7at + 10a^2 + 6a - 4 = 0.\]

Дискриминант:

\[D = 49a^2 - 4\left(10a^2 + 6a - 4\right),\]

\[D = 9a^2 - 24a + 16 = (3a - 4)^2.\]

Это полный квадрат, поэтому корни выражаются просто:

\[t = \frac{7a \pm (3a - 4)}{2},\]

\[t_1 = 5a - 2,\qquad t_2 = 2a + 2.\]

Важно! Если дискриминант оказался полным квадратом, всегда находите корни явно. Это превращает задачу с параметром в простые линейные неравенства.

Итак, исходное уравнение равносильно совокупности

\[|x - 8| - |x - a| = 5a - 2\]

или

\[|x - 8| - |x - a| = 2a + 2.\]

Шаг 2. Случай \(a = 8\)

Тогда \(t = |x - 8| - |x - 8| = 0\) при любом \(x\). Уравнения совокупности превращаются в \(0 = 38\) и \(0 = 18\) — решений нет. Значение \(a = 8\) не подходит.

Шаг 3. Случай \(a < 8\): график \(t\)

При \(x \leqslant a\): \(|x - 8| = 8 - x\), \(|x - a| = a - x\), и

\[t = 8 - x - a + x = 8 - a.\]

При \(a \leqslant x \leqslant 8\): \(|x - 8| = 8 - x\), \(|x - a| = x - a\), и

\[t = 8 - x - x + a = -2x + 8 + a.\]

При \(x \geqslant 8\): \(|x - 8| = x - 8\), \(|x - a| = x - a\), и

\[t = x - 8 - x + a = a - 8.\]

Слева полочка на высоте \(8 - a > 0\), справа полочка на высоте \(a - 8 < 0\), а между ними \(t\) строго убывает. Поэтому:

при \(a - 8 < t < 8 - a\) — ровно одно значение \(x\);

при \(t = 8 - a\) или \(t = a - 8\) — бесконечно много \(x\);

при остальных \(t\) — ни одного \(x\).

Шаг 4. Случай \(a < 8\): условия

Каждое уравнение совокупности даёт 0, 1 или бесконечно много решений. Ровно два решения будет, только если каждое уравнение даёт ровно одно решение и эти решения разные. Значит, оба числа \(t_1\) и \(t_2\) должны лежать строго между \(a - 8\) и \(8 - a\), и \(t_1 \ne t_2\).

Условие для \(t_1 = 5a - 2\):

\[a - 8 < 5a - 2 < 8 - a.\]

Левое неравенство: \(-6 < 4a\), то есть \(a > -\frac32\).

Правое неравенство: \(6a < 10\), то есть \(a < \frac53\).

Условие для \(t_2 = 2a + 2\):

\[a - 8 < 2a + 2 < 8 - a.\]

Левое неравенство: \(a > -10\).

Правое неравенство: \(3a < 6\), то есть \(a < 2\).

Пересекаем все четыре условия:

\[-\frac32 < a < \frac53.\]

Весь этот промежуток лежит в случае \(a < 8\).

Корни совпадают, когда

\[5a - 2 = 2a + 2,\]

\[a = \frac43.\]

Тогда оба уравнения совокупности одинаковые, и решение всего одно. Значение \(a = \frac43\) исключаем.

Важно! Совпадение корней \(t_1 = t_2\) — классическая ловушка. Два уравнения совокупности превращаются в одно, и решений становится вдвое меньше.

Шаг 5. Случай \(a > 8\)

Раскрываем модули так же. При \(x \leqslant 8\) получаем \(t = 8 - a < 0\), при \(8 \leqslant x \leqslant a\) получаем \(t = 2x - 8 - a\), при \(x \geqslant a\) получаем \(t = a - 8 > 0\).

Одно решение бывает только при \(8 - a < t < a - 8\). Проверим \(t_1 = 5a - 2\): нужно \(5a - 2 < a - 8\), то есть \(4a < -6\), \(a < -\frac32\). Это противоречит \(a > 8\). Значит, первое уравнение совокупности не даёт ровно одного решения, и двух решений в сумме не получится. Случай \(a > 8\) ничего не даёт.

Шаг 6. Ответ

\[a \in \left(-\frac32;\ \frac43\right) \cup \left(\frac43;\ \frac53\right).\]

Ответ: \(a \in \left(-\frac32;\ \frac43\right) \cup \left(\frac43;\ \frac53\right)\)

Идея решения

Одно выражение повторяется дважды — делаем замену. Потом раскрываем модули и смотрим, сколько \(x\) даёт одно значение новой переменной. Вид графика зависит от знака \(a\), поэтому будет два случая.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = 7x + |x + a| - |6x|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 + (a+1)t - (a+1) = 0.\]

Обозначим левую часть \(f(t)\). Её дискриминант

\[D = (a+1)^2 + 4(a+1),\]

\[D = (a+1)(a+5).\]

Шаг 2. Случай \(a \geqslant 0\)

Модули меняют знак в точках \(x = -a\) и \(x = 0\). При \(a \geqslant 0\) точка \(-a\) не правее нуля.

При \(x \leqslant -a\): \(|x + a| = -x - a\), \(|6x| = -6x\), и

\[t = 7x - x - a + 6x = 12x - a.\]

При \(-a \leqslant x \leqslant 0\): \(|x + a| = x + a\), \(|6x| = -6x\), и

\[t = 7x + x + a + 6x = 14x + a.\]

При \(x \geqslant 0\): \(|x + a| = x + a\), \(|6x| = 6x\), и

\[t = 7x + x + a - 6x = 2x + a.\]

(При \(a = 0\) средний участок сжимается в точку, остальное не меняется.)

У всех трёх участков угловой коэффициент положительный (\(12\), \(14\), \(2\)), и они стыкуются без разрывов. Значит, \(t\) строго возрастает на всей прямой и принимает каждое значение ровно один раз: каждое \(t\) даёт ровно одно \(x\).

Поэтому два решения будут, когда у \(f(t)\) два различных корня:

\[(a+1)(a+5) > 0.\]

При \(a \geqslant 0\) обе скобки положительны, неравенство верно. Все \(a \geqslant 0\) подходят.

Шаг 3. Случай \(a < 0\): раскрываем модули

Теперь \(-a > 0\), и нуль левее точки \(-a\).

При \(x \leqslant 0\): \(|x + a| = -x - a\), \(|6x| = -6x\), и

\[t = 7x - x - a + 6x = 12x - a.\]

При \(0 \leqslant x \leqslant -a\): \(|x + a| = -x - a\), \(|6x| = 6x\), и

\[t = 7x - x - a - 6x = -a.\]

При \(x \geqslant -a\): \(|x + a| = x + a\), \(|6x| = 6x\), и

\[t = 7x + x + a - 6x = 2x + a.\]

Появилась горизонтальная «полочка» \(t = -a\) на отрезке \([0;\ -a]\). Слева от неё \(t\) возрастает от \(-\infty\) до \(-a\), справа — от \(-a\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t \ne -a\) — ровно одно значение \(x\);

при \(t = -a\) — бесконечно много \(x\).

Важно! Вид графика зависит от знака \(a\), потому что от него зависит, какая из точек \(-a\) и \(0\) левее. Рассмотреть только один случай — значит потерять часть ответа.

Шаг 4. Случай \(a < 0\): условия

Нужно, чтобы \(f(t)\) имел два различных корня и ни один из них не был равен \(-a\).

Два различных корня:

\[(a+1)(a+5) > 0,\]

\[a < -5\ \text{ или }\ a > -1.\]

Корень не равен \(-a\). Подставим \(t = -a\):

\[f(-a) = a^2 - (a+1)a - a - 1,\]

\[f(-a) = -2a - 1.\]

Условие \(f(-a) \ne 0\) даёт

\[a \ne -\frac12.\]

Вместе с \(a < 0\):

\[a \in (-\infty;\ -5) \cup \left(-1;\ -\frac12\right) \cup\]

\[\cup \left(-\frac12;\ 0\right).\]

Важно! При \(a = -\frac12\) уравнение \(t^2 + \frac12 t - \frac12 = 0\) имеет корни \(\frac12\) и \(-1\). Корень \(t = \frac12 = -a\) попадает на полочку и даёт бесконечно много решений. Если забыть это условие, ответ будет неверным.

Шаг 5. Ответ

Объединяем случаи \(a \geqslant 0\) и \(a < 0\):

\[a \in (-\infty;\ -5) \cup \left(-1;\ -\frac12\right) \cup\]

\[\cup \left(-\frac12;\ +\infty\right).\]

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -5) \cup \left(-1;\ -\frac12\right) \cup \left(-\frac12;\ +\infty\right)\)

Идея решения

Сумма модулей встречается дважды — делаем замену, получаем квадратное уравнение. Затем выясняем, сколько \(x\) даёт каждое значение новой переменной: здесь это два, бесконечно много или ни одного.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = \left|x + a^2\right| + |x - 1|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 - 8t + a^2 - 17 = 0.\]

Шаг 2. Раскрываем модули в \(t\)

Модули меняют знак в точках \(x = -a^2\) и \(x = 1\). Так как \(-a^2 \leqslant 0 < 1\), точка \(-a^2\) всегда левее единицы.

При \(x \leqslant -a^2\) оба модуля раскрываются с минусом:

\[t = -x - a^2 - x + 1,\]

\[t = -2x + 1 - a^2.\]

При \(-a^2 \leqslant x \leqslant 1\):

\[t = x + a^2 - x + 1,\]

\[t = 1 + a^2.\]

При \(x \geqslant 1\) оба модуля с плюсом:

\[t = x + a^2 + x - 1,\]

\[t = 2x - 1 + a^2.\]

Шаг 3. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

График \(t\) от \(x\) — «корыто» с плоским дном на высоте \(1 + a^2\):

Левая часть убывает от \(+\infty\) до \(1 + a^2\), дно занимает отрезок \(\left[-a^2;\ 1\right]\), правая часть возрастает от \(1 + a^2\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t > 1 + a^2\) — ровно два значения \(x\);

при \(t = 1 + a^2\) — бесконечно много \(x\);

при \(t < 1 + a^2\) — ни одного \(x\).

Важно! Высота дна здесь зависит от параметра: это не число, а \(1 + a^2\). Сравнивать корни квадратного уравнения нужно именно с \(1 + a^2\).

Шаг 4. Условия на квадратное уравнение

Пусть \(f(t) = t^2 - 8t + a^2 - 17\). Корень больше \(1 + a^2\) даёт два решения, корень, равный \(1 + a^2\), — бесконечно много, корень меньше \(1 + a^2\) — ни одного. Значит, нужен ровно один корень больше \(1 + a^2\) и ни одного корня, равного \(1 + a^2\).

Это возможно в двух вариантах:

1) корней два, и число \(1 + a^2\) лежит строго между ними;

2) корень один (двойной), и он больше \(1 + a^2\).

Важно! Если оба корня больше \(1 + a^2\), решений будет четыре. Поэтому нужно именно «число между корнями», а не «корни больше числа».

Шаг 5. Вариант 1: \(1 + a^2\) между корнями

Ветви параболы \(f(t)\) направлены вверх, поэтому число \(1 + a^2\) лежит строго между корнями, когда \(f\left(1 + a^2\right) < 0\):

Подставим \(t = 1 + a^2\) и раскроем скобки:

\[\left(1 + a^2\right)^2 - 8\left(1 + a^2\right) + a^2 - 17 < 0,\]

\[1 + 2a^2 + a^4 - 8 - 8a^2 +\]

\[+\ a^2 - 17 < 0,\]

\[a^4 - 5a^2 - 24 < 0.\]

Это квадратное неравенство относительно \(a^2\). Корни трёхчлена \(u^2 - 5u - 24\) — это \(u = 8\) и \(u = -3\), поэтому

\[\left(a^2 - 8\right)\left(a^2 + 3\right) < 0.\]

Вторая скобка всегда положительна, значит,

\[a^2 < 8,\]

\[-2\sqrt2 < a < 2\sqrt2.\]

При \(f\left(1 + a^2\right) < 0\) корней автоматически два, и ни один не равен \(1 + a^2\).

Шаг 6. Вариант 2: один корень

Корень один, когда дискриминант равен нулю:

\[\frac{D}{4} = 16 - \left(a^2 - 17\right) = 0,\]

\[a^2 = 33.\]

Тогда единственный корень \(t_0 = 4\), а дно находится на высоте

\[1 + a^2 = 34.\]

Корень \(4 < 34\) — решений нет. Этот вариант ничего не даёт.

Важно! Концы \(a = \pm 2\sqrt2\) не входят: при них \(f\left(1 + a^2\right) = 0\), то есть \(t = 1 + a^2\) — корень, и решений бесконечно много.

Шаг 7. Ответ

\[a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\sqrt2\right).\]

Ответ: \(a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\sqrt2\right)\)

Идея решения

Выражение \(x - \frac{9}{x}\) встречается дважды — заменяем его новой буквой. Дальше главный вопрос: сколько значений \(x\) даёт одно значение новой переменной. Здесь ответ неожиданно простой — всегда два.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = x - \frac{9}{x}.\]

Уравнение принимает вид

\[at^2 - 2t - 49a + 18 = 0.\]

Шаг 2. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

Зафиксируем число \(t\) и решим относительно \(x\) уравнение

\[x - \frac{9}{x} = t.\]

Умножим на \(x \ne 0\):

\[x^2 - 9 = tx,\]

\[x^2 - tx - 9 = 0.\]

Его дискриминант

\[D = t^2 + 36 > 0\]

при любом \(t\). Значит, корней всегда два, и они различны. Оба корня не равны нулю: при \(x = 0\) левая часть равна \(-9\), а не \(0\). Поэтому оба годятся для исходного уравнения.

На рисунке это видно так: любая горизонтальная прямая \(t = t_0\) пересекает график \(t = x - \frac{9}{x}\) ровно в двух точках — по одной на каждой ветви.

Кроме того, разным \(t\) соответствуют разные \(x\): одно и то же \(x\) не может дать два разных значения выражения \(x - \frac{9}{x}\).

Важно! Вывод «каждое \(t\) даёт ровно два \(x\)» обязательно нужно обосновать (дискриминант и проверка \(x \ne 0\)). Без этого решение считается неполным.

Шаг 3. Что нужно от уравнения относительно \(t\)

Каждый корень \(t\) даёт два решения \(x\). Ровно два решения получатся, только если уравнение

\[at^2 - 2t - 49a + 18 = 0\]

имеет ровно один корень. Если корней два — решений будет четыре, если ни одного — решений нет.

Шаг 4. Случай \(a = 0\)

Важно! При \(a = 0\) уравнение перестаёт быть квадратным. Этот случай разбирают отдельно, и его часто теряют.

При \(a = 0\) получаем линейное уравнение:

\[-2t + 18 = 0,\]

\[t = 9.\]

Корень ровно один — значит, \(a = 0\) подходит.

Шаг 5. Случай \(a \ne 0\)

Уравнение квадратное. Один корень у него бывает, когда дискриминант равен нулю. Удобно считать четверть дискриминанта:

\[\frac{D}{4} = 1 - a(-49a + 18),\]

\[\frac{D}{4} = 49a^2 - 18a + 1.\]

Приравниваем к нулю:

\[49a^2 - 18a + 1 = 0.\]

Решаем это уравнение относительно \(a\):

\[\frac{D_a}{4} = 81 - 49 = 32,\]

\[a = \frac{9 \pm \sqrt{32}}{49},\]

\[a = \frac{9 \pm 4\sqrt2}{49}.\]

Оба значения не равны нулю, так что условие \(a \ne 0\) выполнено. При них уравнение имеет один корень \(t_0 = \frac{1}{a}\), и он даёт два решения \(x\).

Шаг 6. Ответ

\[a \in \left\{0;\ \frac{9 - 4\sqrt2}{49};\ \frac{9 + 4\sqrt2}{49}\right\}.\]

Ответ: \(a \in \left\{0;\ \frac{9 - 4\sqrt2}{49};\ \frac{9 + 4\sqrt2}{49}\right\}\)

Идея решения

Сумма модулей встречается дважды — делаем замену, и уравнение становится квадратным. Главное — понять, сколько решений \(x\) даёт каждое значение новой переменной. Здесь ответ другой, чем обычно: одно значение даёт два решения, бесконечно много или ни одного.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = |x - a - 2| + |x - a + 2|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 - at + a^2 - 48 = 0.\]

Шаг 2. Раскрываем модули в \(t\)

Модули меняют знак в точках \(x = a + 2\) и \(x = a - 2\), причём \(a - 2 < a + 2\) при любом \(a\).

При \(x \leqslant a - 2\) оба модуля раскрываются с минусом:

\[t = -(x - a - 2) - (x - a + 2),\]

\[t = -2x + 2a.\]

При \(a - 2 \leqslant x \leqslant a + 2\):

\[t = -(x - a - 2) + (x - a + 2),\]

\[t = 4.\]

При \(x \geqslant a + 2\) оба модуля с плюсом:

\[t = (x - a - 2) + (x - a + 2),\]

\[t = 2x - 2a.\]

Шаг 3. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

График \(t\) от \(x\) похож на корыто с плоским дном на высоте \(4\):

Левая часть убывает от \(+\infty\) до \(4\), дно \(t = 4\) занимает отрезок \([a-2;\ a+2]\), правая часть возрастает от \(4\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t > 4\) — ровно два значения \(x\) (по одному на каждой части);

при \(t = 4\) — бесконечно много \(x\);

при \(t < 4\) — ни одного \(x\).

Важно! То, что \(t \geqslant 4\), видно и без раскрытия модулей: \(t\) — это сумма расстояний от точки \(x\) до точек \(a+2\) и \(a-2\) на числовой прямой. Она не меньше расстояния между этими точками, то есть \(4\).

Шаг 4. Условия на квадратное уравнение

Пусть \(g(t) = t^2 - at + a^2 - 48\). Каждый корень \(t > 4\) даёт два решения \(x\), корень \(t = 4\) — бесконечно много, корень \(t < 4\) — ни одного. Ровно два решения получаются, только если у \(g(t)\) ровно один корень больше 4 и нет корня, равного 4.

Возможны два варианта:

1) корней два, и число \(4\) лежит строго между ними;

2) корень один (двойной), и он больше \(4\).

Важно! Если оба корня больше \(4\), решений будет четыре, а не два. Поэтому условие «\(D > 0\) и корни больше 4» здесь не годится.

Шаг 5. Вариант 1: число 4 между корнями

Ветви параболы \(g(t)\) направлены вверх. Число \(4\) лежит строго между корнями тогда и только тогда, когда \(g(4) < 0\):

\[16 - 4a + a^2 - 48 < 0,\]

\[a^2 - 4a - 32 < 0,\]

\[(a + 4)(a - 8) < 0,\]

\[-4 < a < 8.\]

При \(g(4) < 0\) дискриминант автоматически положителен, и ни один корень не равен \(4\). Проверять отдельно ничего не нужно.

Шаг 6. Вариант 2: один корень

Корень один, когда \(D = 0\):

\[a^2 - 4\left(a^2 - 48\right) = 0,\]

\[192 - 3a^2 = 0,\]

\[a^2 = 64,\quad a = \pm 8.\]

Этот корень равен \(t_0 = \frac{a}{2}\).

При \(a = 8\): \(t_0 = 4\) — бесконечно много решений, не подходит.

При \(a = -8\): \(t_0 = -4 < 4\) — решений нет, не подходит.

Важно! Концы \(a = -4\) и \(a = 8\) не входят в ответ: при них \(g(4) = 0\), то есть \(t = 4\) — корень, и решений бесконечно много.

Шаг 7. Ответ

\[a \in (-4;\ 8).\]

Ответ: \(a\in (-4;\ 8)\)