№19. Задача с параметром

Идея решения

Уравнение вида \(|A| = B\) раскрывается стандартно: \(B \geqslant 0\) и при этом \(A = B\) либо \(A = -B\). Самое интересное начинается дальше: и \(A - B\), и \(A + B\) после выделения полных квадратов оказываются уравнениями окружностей в плоскости \((x;\ a)\). Задача превращается в геометрическую.

Шаг 1. Раскрываем модуль

Обозначим \(A = x^2 - 7x + a^2 - 5a\) и \(B = x + a\). Тогда

\[|A| = B \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}B \geqslant 0,\\ A = B \ \text{или}\ A = -B.\end{cases}\]

Важно! Условие \(B \geqslant 0\) выписывают сразу и не забывают до самого конца. Модуль неотрицателен, поэтому и правая часть обязана быть неотрицательной — иначе корней просто нет.

Шаг 2. Первое уравнение: A = B

\[x^2 - 7x + a^2 - 5a = x + a \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0.\]

Выделяем полные квадраты:

\[(x-4)^2 - 16 + (a-3)^2 - 9 = 0,\]

\[(x-4)^2 + (a-3)^2 = 25.\]

Это окружность с центром \((4;\ 3)\) и радиусом \(5\).

Шаг 3. Второе уравнение: A = −B

\[x^2 - 7x + a^2 - 5a = -x - a \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x + a^2 - 4a = 0,\]

\[(x-3)^2 - 9 + (a-2)^2 - 4 = 0,\]

\[(x-3)^2 + (a-2)^2 = 13.\]

Окружность с центром \((3;\ 2)\) и радиусом \(\sqrt{13}\).

Шаг 4. Условие B ≥ 0

Неравенство \(x + a \geqslant 0\) задаёт полуплоскость, лежащую выше прямой \(x + a = 0\). Всё, что ниже этой прямой, из картинки вычёркивается.

Шаг 5. Замечательное свойство картинки

Найдём, где прямая \(x + a = 0\) пересекает окружности. Подставим \(a = -x\) в первое уравнение:

\[(x-4)^2 + (x+3)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0\ \text{или}\ x = 1.\]

Теперь во второе:

\[(x-3)^2 + (x+2)^2 = 13 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0\ \text{или}\ x = 1.\]

Получились одни и те же точки: \((0;\ 0)\) и \((1;\ -1)\). Значит, прямая \(x + a = 0\) проходит ровно через обе точки пересечения окружностей.

Важно! Две различные окружности пересекаются не более чем в двух точках. Раз обе найденные точки лежат на обеих окружностях — других общих точек у них нет. Это сразу даёт понять, где корни будут склеиваться.

Шаг 6. Считаем корни при фиксированном a

Фиксируем \(a\) и проводим горизонтальную прямую. Корни \(x\) — это точки пересечения этой прямой с окружностями, лежащие в разрешённой полуплоскости.

Сколько точек даёт каждая окружность. Первая — две точки при \(|a - 3| < 5\), то есть при \(-2 < a < 8\). Вторая — две точки при \(|a - 2| < \sqrt{13}\), то есть при

\[2 - \sqrt{13} < a < 2 + \sqrt{13}.\]

Второе условие строже (\(2-\sqrt{13} \approx -1{,}6\), \(2+\sqrt{13} \approx 5{,}6\)), поэтому оно и работает.

Шаг 7. Когда точки попадают в разрешённую полуплоскость

У первой окружности меньший корень равен \(x = 4 - \sqrt{25 - (a-3)^2}\). Условие \(x + a \geqslant 0\):

\[4 + a \geqslant \sqrt{25 - (a-3)^2}.\]

Возводим в квадрат (левая часть положительна при \(a > -2\)):

\[16 + 8a + a^2 \geqslant 25 - a^2 + 6a - 9 \quad\Longrightarrow\quad 2a^2 + 2a \geqslant 0 \quad\Longrightarrow\quad a(a+1) \geqslant 0,\]

то есть \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 0\).

Для второй окружности выкладка та же, и условие получается точно такое же:

\[3 + a \geqslant \sqrt{13 - (a-2)^2} \quad\Longrightarrow\quad 2a^2 + 2a \geqslant 0.\]

Это и неудивительно: прямая \(x + a = 0\) режет обе окружности в одних и тех же точках, у которых \(a = 0\) и \(a = -1\).

Значит, при \(-1 < a < 0\) левые точки обеих окружностей уходят под прямую, и корней остаётся только два.

Шаг 8. Отбрасываем склейки

При \(a = 0\) первая окружность даёт \(x = 0\) и \(x = 8\), вторая — \(x = 0\) и \(x = 6\). Корень \(x = 0\) общий, различных корней три.

При \(a = -1\) первая даёт \(x = 1\) и \(x = 7\), вторая — \(x = 1\) и \(x = 5\). Снова общий корень, различных три.

Поэтому обе эти точки из ответа выкалываются.

Шаг 9. Собираем

Четыре различных корня получаются при

\[a \in \left(2 - \sqrt{13};\ 2 + \sqrt{13}\right),\quad \left(a \leqslant -1\ \text{или}\ a \geqslant 0\right),\quad a \neq -1,\ a \neq 0,\]

то есть

\[a \in \left(2 - \sqrt{13};\ -1\right) \cup \left(0;\ 2 + \sqrt{13}\right).\]

Ответ

\[a \in \left(2 - \sqrt{13};\ -1\right) \cup \left(0;\ 2 + \sqrt{13}\right).\]

Ответ: \(a \in \left(2 - \sqrt{13};\ -1\right) \cup \left(0;\ 2 + \sqrt{13}\right)\)

Идея решения

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Значит, сначала требуем у числителя два различных корня (дискриминант строго положителен), а потом выбрасываем те \(a\), при которых один из корней «съедает» знаменатель.

Шаг 1. Условие для числителя

\[x^2 - 2x + \left(a^2 - 6a\right) = 0,\qquad \frac{D}{4} = 1 - \left(a^2 - 6a\right) = 1 + 6a - a^2.\]

Два различных корня ⟺ \(\dfrac{D}{4} > 0\):

\[1 + 6a - a^2 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 - 6a - 1 < 0.\]

Корни: \(a = 3 \pm \sqrt{10}\), ветви вверх, поэтому

\[a \in \left(3 - \sqrt{10};\ 3 + \sqrt{10}\right).\]

Сами корни числителя при этом равны

\[x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 6a - a^2}.\]

Шаг 2. Когда знаменатель мешает

Знаменатель обращается в ноль при \(x^2 = a\). Найдём те \(a\), при которых это случается ровно с корнем числителя.

Пусть \(x\) — корень числителя и одновременно \(x^2 = a\). Подставим \(x^2 = a\) в числитель:

\[a - 2x + a^2 - 6a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 5a = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{a^2 - 5a}{2}.\]

Важно! Приём стандартный: вместо того чтобы подставлять громоздкие корни \(1 \pm \sqrt{\ldots}\), мы подставляем само условие \(x^2 = a\). Это убирает корни из выкладок целиком.

Шаг 3. Решаем систему

Осталось учесть, что \(x^2 = a\):

\[\left(\frac{a^2-5a}{2}\right)^2 = a \quad\Longrightarrow\quad \left(a^2 - 5a\right)^2 = 4a \quad\Longrightarrow\quad a^2(a-5)^2 = 4a.\]

Значение \(a = 0\) подходит сразу. При \(a \neq 0\) делим на \(a\):

\[a(a-5)^2 = 4,\qquad a^3 - 10a^2 + 25a - 4 = 0.\]

Подбираем целый корень: при \(a = 4\) получаем \(64 - 160 + 100 - 4 = 0\) ✓. Делим многочлен на \((a-4)\):

\[a^3 - 10a^2 + 25a - 4 = (a - 4)\left(a^2 - 6a + 1\right),\]

\[a^2 - 6a + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 3 \pm 2\sqrt2.\]

Шаг 4. Проверяем «плохие» значения

Получили четыре значения: \(0\), \(4\), \(3 - 2\sqrt2\), \(3 + 2\sqrt2\). Все они лежат внутри промежутка из шага 1, ведь

\[3 - \sqrt{10} \approx -0{,}16,\quad 3 - 2\sqrt2 \approx 0{,}17,\quad 3 + 2\sqrt2 \approx 5{,}83,\quad 3 + \sqrt{10} \approx 6{,}16.\]

Посмотрим, что происходит в каждом.

\(a = 0\): числитель \(x^2 - 2x = 0\) даёт \(x = 0\) и \(x = 2\); знаменатель \(x^2 \neq 0\) запрещает \(x = 0\). Остаётся один корень.

\(a = 4\): числитель \(x^2 - 2x - 8 = 0\) даёт \(x = 4\) и \(x = -2\); знаменатель \(x^2 \neq 4\) запрещает \(x = -2\). Остаётся один корень.

\(a = 3 \mp 2\sqrt2\): корни числителя равны \(1 \pm \sqrt2\), и один из них как раз даёт \(x^2 = a\) — он запрещён, остаётся один корень.

Во всех четырёх случаях корень остаётся один, значит эти значения в ответ не идут.

Важно! Оба корня сразу знаменатель убить не может. Для этого нужно было бы \(x_1^2 = x_2^2 = a\), то есть \(x_2 = -x_1\), а сумма корней числителя равна \(2 \neq 0\). Поэтому «плохое» \(a\) всегда оставляет ровно один корень, а не ноль.

Шаг 5. Ответ

Из промежутка \(\left(3 - \sqrt{10};\ 3 + \sqrt{10}\right)\) выкалываем четыре найденные точки.

Ответ

\[a \in \left(3-\sqrt{10};\ 0\right) \cup \left(0;\ 3-2\sqrt2\right) \cup\]

\[\cup\ \left(3-2\sqrt2;\ 4\right) \cup \left(4;\ 3+2\sqrt2\right) \cup \left(3+2\sqrt2;\ 3+\sqrt{10}\right).\]

Ответ: \(a \in \left(3-\sqrt{10};\ 0\right) \cup \left(0;\ 3-2\sqrt2\right) \cup \left(3-2\sqrt2;\ 4\right) \cup \left(4;\ 3+2\sqrt2\right) \cup \left(3+2\sqrt2;\ 3+\sqrt{10}\right)\)

Идея решения

После приведения к общему знаменателю получится обычное квадратное уравнение. Но у исходного уравнения есть два запрета: \(x \neq -3\) и \(x \neq a\). Поэтому «ровно одно решение» бывает в двух разных ситуациях: либо у квадратного уравнения один корень (дискриминант равен нулю), либо корней два, но один из них запрещён.

Шаг 1. Область допустимых значений

\[x \neq -3,\qquad x \neq a.\]

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю

Умножаем обе части на \((x+3)(x-a)\):

\[(x-2a)(x-a) + (x-2)(x+3) - (x+3)(x-a) = 0.\]

Раскрываем по очереди:

\[(x-2a)(x-a) = x^2 - 3ax + 2a^2,\]

\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6,\]

\[(x+3)(x-a) = x^2 - ax + 3x - 3a.\]

Складываем и приводим подобные:

\[x^2 - 2(a+1)x + \left(2a^2 + 3a - 6\right) = 0.\]

Шаг 3. Дискриминант

\[\frac{D}{4} = (a+1)^2 - \left(2a^2 + 3a - 6\right) = a^2 + 2a + 1 - 2a^2 - 3a + 6,\]

\[\frac{D}{4} = -a^2 - a + 7.\]

\[\frac{D}{4} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 + a - 7 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}.\]

Шаг 4. Первый случай: D = 0

При \(a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}\) корень один: \(x = a + 1\). Надо проверить, что он разрешён.

\(x = a\)? Нет: \(a + 1 \neq a\) никогда.

\(x = -3\)? Это дало бы \(a = -4\), но \(-4\) не является корнем уравнения \(a^2 + a - 7 = 0\) (подстановка даёт \(16 - 4 - 7 = 5 \neq 0\)).

Значит, оба эти значения \(a\) подходят.

Шаг 5. Второй случай: D > 0, но один корень запрещён

Корень равен \(-3\). Подставим \(x = -3\) в квадратное уравнение:

\[9 + 6(a+1) + 2a^2 + 3a - 6 = 0,\qquad 2a^2 + 9a + 9 = 0,\]

\[a = \frac{-9 \pm 3}{4} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac32 \quad\text{или}\quad a = -3.\]

Проверяем каждое.

При \(a = -\dfrac32\): \(\dfrac{D}{4} = -2{,}25 + 1{,}5 + 7 = 6{,}25 > 0\). Сумма корней равна \(2(a+1) = -1\), значит второй корень равен \(-1 - (-3) = 2\). Он не равен ни \(-3\), ни \(a = -1{,}5\) — остаётся ровно одно решение \(x = 2\) ✓.

При \(a = -3\): уравнение принимает вид \(x^2 + 4x + 3 = 0\), корни \(-1\) и \(-3\). Корень \(-3\) запрещён (и как \(x = -3\), и как \(x = a\)), остаётся \(x = -1\) ✓.

Корень равен \(a\). Подставим \(x = a\):

\[a^2 - 2(a+1)a + 2a^2 + 3a - 6 = 0,\qquad a^2 + a - 6 = 0,\]

\[a = 2 \quad\text{или}\quad a = -3.\]

При \(a = 2\): \(\dfrac{D}{4} = -4 - 2 + 7 = 1 > 0\), уравнение \(x^2 - 6x + 8 = 0\), корни \(2\) и \(4\). Корень \(x = 2 = a\) запрещён, остаётся \(x = 4\) ✓.

Значение \(a = -3\) уже встречалось.

Важно! Каждое «подозрительное» значение \(a\) обязательно проверяют подстановкой. Может оказаться, что запрещённым становится второй корень тоже — тогда решений не останется вовсе, и значение в ответ не пойдёт. Именно так устроен случай \(a = -3\): там оба запрета бьют в один и тот же корень \(-3\), поэтому второй корень выживает.

Шаг 6. Собираем ответ

Других вариантов нет: при \(D < 0\) решений ноль, при \(D > 0\) и обоих разрешённых корнях решений два.

Ответ

\[a \in \left\{\frac{-1-\sqrt{29}}{2};\ -3;\ -\frac32;\ 2;\ \frac{-1+\sqrt{29}}{2}\right\}.\]

Ответ: \(a \in \left\{\dfrac{-1-\sqrt{29}}{2};\ -3;\ -\dfrac32;\ 2;\ \dfrac{-1+\sqrt{29}}{2}\right\}\)

Идея решения

Второе уравнение задаёт арифметический корень, а он всегда неотрицателен. Значит, модуль по \(y\) снимается сразу, и вместо ромба \(|x| + |y| = a\) остаётся «галочка» \(y = a - |x|\) — две полупрямые с вершиной \((0;\ a)\). При росте \(a\) эта галочка просто поднимается вверх, и надо поймать моменты, когда общих точек с кривой ровно две.

Шаг 1. Снимаем модуль по y

Из второго уравнения \(y = \sqrt{x+4} \geqslant 0\) и \(x \geqslant -4\). Поэтому \(|y| = y\), и первое уравнение превращается в

\[|x| + y = a,\qquad\text{то есть}\qquad y = a - |x|.\]

Важно! Это первый и главный шаг. Если честно рисовать ромб \(|x|+|y| = a\), работы станет вдвое больше, а нижняя его половина всё равно окажется лишней: кривая \(y = \sqrt{x+4}\) ниже оси не опускается.

Шаг 2. Что за графики

Кривая \(y = \sqrt{x+4}\) — ветвь параболы, лежащая на боку. Начинается в точке \((-4;\ 0)\), возрастает, выпукла вверх, проходит через \((0;\ 2)\).

Галочка \(y = a - |x|\) — две полупрямые: слева \(y = a + x\) (угловой коэффициент \(+1\)), справа \(y = a - x\) (угловой коэффициент \(-1\)); вершина в точке \((0;\ a)\).

Шаг 3. Правая полупрямая

Справа кривая возрастает, а полупрямая убывает, поэтому общих точек у них не больше одной. Общая точка есть тогда и только тогда, когда в точке \(x = 0\) галочка не ниже кривой:

\[a \geqslant 2.\]

При \(a = 2\) этой точкой оказывается сама вершина \((0;\ 2)\).

Шаг 4. Левая полупрямая

Здесь обе линии возрастают, поэтому точек может быть и две. Рассмотрим разность на отрезке \([-4;\ 0]\):

\[f(x) = (a + x) - \sqrt{x+4}.\]

Найдём, где она наименьшая:

\[f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x+4} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad x = -3{,}75.\]

Значения, которые нам понадобятся:

\[f(-4) = a - 4,\qquad f(-3{,}75) = a - 3{,}75 - 0{,}5 = a - \frac{17}{4}, \qquad f(0) = a - 2.\]

Функция сначала убывает, потом возрастает, поэтому \(f(-3{,}75)\) — её минимум.

Важно! Число \(\dfrac{17}{4}\) появляется именно здесь — как значение \(a\), при котором минимум разности равен нулю. Это и есть касание галочки с кривой; «увидеть» его на глаз невозможно, нужен счёт.

Шаг 5. Разбор случаев

\(0 < a < 2\). Тогда \(f(-4) < 0\), \(f(0) < 0\), минимум и подавно отрицателен — слева точек нет. Справа тоже нет. Итого 0.

\(a = 2\). \(f(0) = 0\): единственная общая точка — вершина \((0;\ 2)\). Итого 1.

\(2 < a < 4\). \(f(-4) = a - 4 < 0\), а \(f(0) = a - 2 > 0\): разность меняет знак один раз, слева ровно одна точка. Справа одна. Итого 2 ✓.

\(a = 4\). \(f(-4) = 0\) — галочка проходит через начало кривой \((-4;\ 0)\). Но минимум \(f(-3{,}75) = -0{,}25 < 0\), а \(f(0) = 2 > 0\), значит есть и вторая точка слева. Плюс одна справа. Итого 3.

\(4 < a < \dfrac{17}{4}\). Оба конца положительны, минимум отрицателен — слева две точки, справа одна. Итого 3.

\(a = \dfrac{17}{4}\). Минимум равен нулю — касание в точке \((-3{,}75;\ 0{,}5)\). Слева ровно одна точка, справа одна. Итого 2 ✓.

\(a > \dfrac{17}{4}\). Минимум положителен — слева точек нет, справа одна. Итого 1.

Шаг 6. Проверка точки касания

\[x = -3{,}75,\qquad y = \sqrt{-3{,}75 + 4} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5,\]

\[|x| + |y| = 3{,}75 + 0{,}5 = 4{,}25 = \frac{17}{4}.\ \checkmark\]

Ответ

\[a \in (2;\ 4) \cup \left\{\frac{17}{4}\right\}.\]

Ответ: \(a \in (2;\ 4) \cup \left\{\dfrac{17}{4}\right\}\)

Идея решения

Главная тонкость здесь — множитель \(\sqrt{x+5}\) в числителе. Он обнуляется при \(x = -5\) при любом \(y\), то есть даёт не точку, а целую вертикальную прямую. Остальная часть числителя раскладывается на две скобки и даёт два отрезка. Второе уравнение — семейство прямых с угловым коэффициентом \(-1\).

Шаг 1. Область допустимых значений

\[\begin{cases}x + 5 \geqslant 0,\\ 5 - x > 0\end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad -5 \leqslant x < 5.\]

Обратите внимание на разные знаки: под корнем в числителе допустим ноль, а в знаменателе — нет.

Шаг 2. Когда дробь равна нулю

На ОДЗ знаменатель \(\sqrt{5-x} > 0\), поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю числитель:

\[\left(y^2 - xy - 7y + 4x + 12\right)\cdot\sqrt{x+5} = 0.\]

Произведение равно нулю, если ноль хотя бы один множитель.

Важно! Первый вариант — \(\sqrt{x+5} = 0\), то есть \(x = -5\), и при этом \(y\) может быть любым. Получается целая прямая решений. Потерять её — значит потерять половину ответа.

Шаг 3. Раскладываем скобку

Сгруппируем так, чтобы выделить \((y-4)\):

\[y^2 - xy - 7y + 4x + 12 = \left(y^2 - 7y + 12\right) - x(y - 4) =\]

\[= (y-3)(y-4) - x(y-4) = (y-4)(y - 3 - x).\]

Значит, \(y = 4\) или \(y = x + 3\) — и всё это при \(-5 \leqslant x < 5\).

Шаг 4. Рисуем график первого уравнения

Он состоит из трёх кусков:

— вертикальная прямая \(x = -5\) целиком;

— отрезок \(y = 4\) при \(-5 \leqslant x < 5\): от точки \((-5;\ 4)\) до выколотой точки \((5;\ 4)\);

— отрезок \(y = x + 3\) при \(-5 \leqslant x < 5\): от точки \((-5;\ -2)\) до выколотой точки \((5;\ 8)\).

Шаг 5. Вторая линия

\(a = x + y\), то есть \(y = -x + a\) — прямая с угловым коэффициентом \(-1\), которая при росте \(a\) поднимается вверх.

Шаг 6. Считаем точки пересечения

С прямой \(x = -5\): \(y = 5 + a\). Точка \((-5;\ a+5)\) есть всегда — ровно одна.

С отрезком \(y = 4\): \(-x + a = 4\), то есть \(x = a - 4\). Такая точка существует, когда \(-5 \leqslant a - 4 < 5\), то есть

\[-1 \leqslant a < 9.\]

С отрезком \(y = x + 3\): \(-x + a = x + 3\), то есть \(x = \dfrac{a-3}{2}\). Условие \(-5 \leqslant \dfrac{a-3}{2} < 5\) даёт

\[-7 \leqslant a < 13.\]

Шаг 7. Где точки склеиваются

Точка на прямой \(x = -5\) совпадает с точкой на отрезке \(y = 4\), когда \(a - 4 = -5\), то есть \(a = -1\) (общая точка \((-5;\ 4)\)).

Она же совпадает с точкой на отрезке \(y = x+3\), когда \(\dfrac{a-3}{2} = -5\), то есть \(a = -7\) (общая точка \((-5;\ -2)\)).

Точки на двух отрезках совпадают, когда \(a - 4 = \dfrac{a-3}{2}\), то есть \(2a - 8 = a - 3\), \(a = 5\) (общая точка \((1;\ 4)\) — там отрезки пересекаются).

Шаг 8. Разбор по промежуткам

\(a < -7\): есть только точка на прямой \(x = -5\) — 1 решение.

\(a = -7\): точки склеились — 1 решение.

\(-7 < a < -1\): прямая \(x = -5\) и отрезок \(y = x+3\) — 2 решения.

\(a = -1\): три точки, но две склеились — 2 решения.

\(-1 < a < 5\): все три точки различны — 3 решения.

\(a = 5\): две точки склеились — 2 решения.

\(5 < a < 9\): снова 3 решения.

\(a = 9\): отрезок \(y = 4\) кончился (точка \((5;4)\) выколота) — 2 решения.

\(9 < a < 13\): прямая \(x = -5\) и отрезок \(y = x+3\) — 2 решения.

\(a \geqslant 13\): остаётся одна точка — 1 решение.

Важно! Концы здесь ведут себя по-разному: \(a = -1\) и \(a = 5\) входят в ответ (там точки склеиваются), \(a = 9\) входит (отрезок заканчивается выколотой точкой), а \(a = 13\) не входит. Каждую границу нужно проверять отдельно, «по аналогии» тут не работает.

Ответ

\[a \in (-7;\ -1] \cup \{5\} \cup [9;\ 13).\]

Ответ: \(a \in (-7;\ -1] \cup \{5\} \cup [9;\ 13)\)

Идея решения

Числитель раскладывается группировкой на две скобки, и график первого уравнения оказывается объединением прямой и гиперболы — но не целиком, а только той их части, где выполняется ОДЗ \(y < 4\). Вторая прямая проходит через начало координат, и всё сводится к подсчёту точек пересечения.

Шаг 1. Область допустимых значений

Под корнем в знаменателе должно стоять строго положительное число (на него делят):

\[4 - y > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y < 4.\]

При этом условии знаменатель положителен, поэтому дробь равна нулю ровно тогда, когда равен нулю числитель.

Шаг 2. Раскладываем числитель

\[xy^2 - 2xy - 4y + 8 = xy(y - 2) - 4(y - 2) = (y - 2)(xy - 4).\]

Важно! Из последних двух слагаемых выносим именно \(-4\), а не \(4\): \(-4y + 8 = -4(y - 2)\). Только тогда получится общая скобка \((y-2)\) — с плюсом группировка не сойдётся.

Шаг 3. Что за график получился

\((y-2)(xy-4) = 0\) при \(y < 4\) означает: либо \(y = 2\), либо \(xy = 4\).

Прямая \(y = 2\) подходит целиком, ведь \(2 < 4\).

Гипербола \(y = \dfrac4x\) — только там, где \(y < 4\). При \(x < 0\) имеем \(y < 0\), годится вся левая ветвь. При \(x > 0\) условие \(\dfrac4x < 4\) равносильно \(x > 1\).

Точка \((1;\ 4)\) из графика выколота.

Шаг 4. Пересечения с прямой y = 2

\(ax = 2\). При \(a = 0\) решений нет, при \(a \neq 0\) ровно одна точка \(\left(\dfrac2a;\ 2\right)\).

Шаг 5. Пересечения с гиперболой

Подставляем \(y = ax\) в \(xy = 4\):

\[a x^2 = 4.\]

При \(a \leqslant 0\) левая часть неположительна — решений нет.

При \(a > 0\):

\[x = \pm\frac{2}{\sqrt a},\qquad y = ax = \pm 2\sqrt a.\]

Левая точка \(\left(-\dfrac{2}{\sqrt a};\ -2\sqrt a\right)\): здесь \(y < 0\), условие \(y < 4\) выполнено всегда.

Правая точка \(\left(\dfrac{2}{\sqrt a};\ 2\sqrt a\right)\): нужно \(2\sqrt a < 4\), то есть \(\sqrt a < 2\), то есть \(a < 4\).

Шаг 6. Собираем

При \(a \leqslant 0\) точек не больше одной. При \(a \geqslant 4\) получаем \(1 + 1 = 2\) точки. Три точки возможны только при \(0 < a < 4\).

Шаг 7. Проверяем, не склеились ли точки

Правая точка гиперболы может совпасть с точкой на прямой \(y = 2\). Для этого нужно \(2\sqrt a = 2\), то есть \(a = 1\). Тогда обе точки — это \((2;\ 2)\), и различных решений остаётся только два.

Важно! В условии сказано «3 различных решения». Формально при \(a = 1\) уравнения дают три корня, но два из них задают одну и ту же точку. Этот случай обязательно нужно выколоть.

Ответ

\[a \in (0;\ 1) \cup (1;\ 4).\]

Ответ: \(a \in (0;\ 1) \cup (1;\ 4)\)