№19. Задача с параметром

Шаг 1. Замена и группировка

Обозначим

\[t = 2^x > 0,\qquad b = 3|a| + 2.\]

Заметим, что \(4^x = t^2\), а выражение \(2 + 3|a|\) — это и есть \(b\). Уравнение принимает вид

\[t^2 + (a - 6)t = b\,t + (a - 6)\,b.\]

Переносим всё влево и группируем по парам:

\[t^2 - b\,t + (a - 6)t - (a - 6)b = 0,\]

\[t(t - b) + (a - 6)(t - b) = 0,\qquad (t - b)\left(t + a - 6\right) = 0.\]

Важно! Громоздкое выражение \(3|a| + 2\) специально повторяется в условии дважды — именно оно и выносится за скобку. Увидев в задаче одинаковый «кусок» в разных местах, обозначьте его буквой: запись сразу станет короткой.

Шаг 2. Два значения t

\[t_1 = b = 3|a| + 2;\qquad t_2 = 6 - a.\]

Каждому допустимому значению \(t > 0\) отвечает ровно один \(x = \log_2 t\), и разным \(t\) — разные \(x\). Поэтому «единственное решение уравнения» означает «единственное подходящее значение \(t\)».

Первый корень есть всегда: \(t_1 = 3|a| + 2 \ge 2 > 0\) при любом \(a\).

Второй корень существует, только если \(t_2 = 6 - a > 0\), то есть при \(a < 6\).

Шаг 3. Когда решение ровно одно

Вариантов ровно два.

Вариант А: второй корень не годится как значение \(t\).

\[6 - a \le 0 \;\Longleftrightarrow\; a \ge 6.\]

Тогда остаётся только \(t_1\) — решение единственное.

Вариант Б: корни совпали.

\[3|a| + 2 = 6 - a \;\Longleftrightarrow\; 3|a| = 4 - a.\]

Раскрываем модуль по знаку \(a\):

\[a \ge 0:\quad 3a = 4 - a \;\Longrightarrow\; a = 1\ —\ \text{подходит (}1 \ge 0\text{)};\]

\[a < 0:\quad -3a = 4 - a \;\Longrightarrow\; -2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = -2\ —\ \text{подходит (}-2 < 0\text{)}.\]

Важно! После раскрытия модуля обязательно проверяйте, попал ли найденный корень в «свой» случай. Если бы из ветки \(a \ge 0\) вышло отрицательное число, его пришлось бы отбросить.

На рисунке это две точки пересечения «галочки» \(t = 3|a| + 2\) с прямой \(t = 6 - a\): \((-2;\,8)\) и \((1;\,5)\). Правее \(a = 6\) прямая уходит под ось — там второй корень перестаёт существовать, и серым пунктиром показан именно этот «мёртвый» участок.

Шаг 4. Проверка границы a = 6

При \(a = 6\) получаем \(t_2 = 0\), но \(2^x\) нулём не бывает — второй корень отпадает, остаётся один. Значит \(a = 6\) входит в ответ.

Ответ: \(a \in \{-2;\ 1\} \cup [6;\ +\infty)\)

Шаг 1. Переписываем всё через a

\[2a \le x \;\Longleftrightarrow\; a \le \dfrac{x}{2};\qquad x + a \le 6 \;\Longleftrightarrow\; a \le 6 - x.\]

Со вторым неравенством поступим аккуратно — соберём полный квадрат по \(x\):

\[6x > x^2 + a^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - 6x + a^2 < 0 \;\Longleftrightarrow\; (x - 3)^2 + a^2 < 9.\]

Важно! Получился круг с центром \((3;\,0)\) и радиусом \(3\) в плоскости \((x;\,a)\), причём открытый — граница не входит, неравенство строгое. Увидеть окружность в выражении \(6x > x^2 + a^2\) — главный шаг задачи.

Шаг 2. Какая из двух прямых режет сильнее

Сверху область ограничивают две прямые. Сравним их на отрезке \([4;\,5]\):

\[\dfrac{x}{2}\ \text{принимает значения от } 2\ \text{до } 2{,}5;\qquad 6 - x\ \text{— от } 2\ \text{до } 1.\]

Значит \(6 - x \le \dfrac{x}{2}\) на всём отрезке (равенство только при \(x = 4\)), и верхняя граница области — прямая \(a = 6 - x\).

Шаг 3. Ищем самое «широкое» место

На отрезке область зажата между нижней полуокружностью и прямой \(a = 6 - x\):

\[-\sqrt{9 - (x-3)^2} < a \le 6 - x.\]

Верхняя граница \(6 - x\) убывает — значит максимум она даёт при \(x = 4\): \(a \le 2\).

Нижняя граница \(-\sqrt{9 - (x-3)^2}\): под корнем \(9 - (x-3)^2\) при росте \(x\) от \(4\) к \(5\) убывает (с \(8\) до \(5\)), поэтому сама граница поднимается — то есть минимальна тоже при \(x = 4\):

\[a > -\sqrt{9 - 1} = -\sqrt8 = -2\sqrt2.\]

Важно! Оба ограничения оказались самыми мягкими в одной и той же точке \(x = 4\). Значит проверять другие \(x\) не нужно: что проходит при \(x = 4\), то и есть ответ. Если бы «самые мягкие» точки у границ были разные, пришлось бы объединять по всем \(x\) отрезка.

Шаг 4. Ответ

Подставим \(x = 4\) прямо в исходную систему:

\[2a \le 4 \;\Longrightarrow\; a \le 2;\qquad 24 > 16 + a^2 \;\Longrightarrow\; a^2 < 8 \;\Longrightarrow\; |a| < 2\sqrt2;\qquad 4 + a \le 6 \;\Longrightarrow\; a \le 2.\]

Пересечение: \(-2\sqrt2 < a \le 2\) (напомним, \(2\sqrt2 \approx 2{,}83\), так что условие \(a \le 2\) жёстче, чем \(a < 2\sqrt2\)).

Ответ: \(a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\right]\)

Что значит «хотя бы одно решение на отрезке»

Нужно, чтобы нашлось хотя бы одно число \(x\) из отрезка \([3;\,4]\), удовлетворяющее всем трём неравенствам сразу. Если такого \(x\) нет — значение \(a\) не подходит.

Важно! Это не «неравенства выполняются при всех \(x\) из отрезка». Формулировки «хотя бы при одном» и «при всех» дают противоположные ответы — читайте условие дословно.

Шаг 1. Выражаем a через x

Удобнее всего нарисовать картинку в плоскости \((x;\,a)\): тогда каждому \(a\) отвечает горизонтальная прямая, и вопрос превращается в «задевает ли эта прямая нужную область над отрезком \([3;\,4]\)».

Первое неравенство. На отрезке \(x \ge 3 > 0\), поэтому делим на \(x\) без смены знака:

\[ax \ge 2 \;\Longleftrightarrow\; a \ge \dfrac{2}{x}.\]

Второе неравенство. Корень определён (\(x \ge 3 > 1\)) и неотрицателен:

\[\sqrt{x - 1} > a \;\Longleftrightarrow\; a < \sqrt{x - 1}.\]

Третье неравенство.

\[3x \le 2a + 11 \;\Longleftrightarrow\; a \ge \dfrac{3x - 11}{2}.\]

Шаг 2. Какое из ограничений снизу главнее

Снизу область режут сразу две линии: гипербола \(a = \dfrac2x\) и прямая \(a = \dfrac{3x-11}{2}\). Сравним их на отрезке. Приравняем:

\[\dfrac{2}{x} = \dfrac{3x - 11}{2} \;\Longrightarrow\; 4 = 3x^2 - 11x \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 11x - 4 = 0,\]

\[D = 121 + 48 = 169,\qquad x = \dfrac{11 \pm 13}{6} \;\Longrightarrow\; x = 4 \ \text{или}\ x = -\dfrac13.\]

На отрезке они встречаются ровно в точке \(x = 4\), а левее (проверим в \(x = 3{,}5\): \(\frac{2}{3{,}5} \approx 0{,}57\) против \(\frac{10{,}5-11}{2} = -0{,}25\)) гипербола выше. Значит на всём отрезке

\[\dfrac{2}{x} \ge \dfrac{3x - 11}{2},\]

и нижней границей служит именно гипербола. Третье неравенство оказалось следствием первого — но убедиться в этом нужно, а не угадать.

Шаг 3. Проекция области на ось a

Итак, область — это то, что лежит над гиперболой и строго под кривой корня, при \(3 \le x \le 4\). Обе границы монотонны, поэтому «самое широкое» место — у правого края отрезка:

\[x = 3:\quad a \in \left[\dfrac23;\ \sqrt2\right);\qquad x = 4:\quad a \in \left[\dfrac12;\ \sqrt3\right).\]

Гипербола \(\dfrac2x\) убывает, поэтому наименьшая нижняя граница достигается при \(x = 4\) и равна \(\dfrac12\). Корень \(\sqrt{x-1}\) растёт, поэтому наибольшая верхняя граница — тоже при \(x = 4\), она равна \(\sqrt3\).

Значит годится ровно то \(a\), для которого подходит \(x = 4\):

\[\dfrac12 \le a < \sqrt3.\]

Важно! Проверим, что \(x = 4\) действительно всегда годится. При \(a \ge \frac12\): \(4a \ge 2\) ✓. При \(a < \sqrt3\): \(\sqrt{4-1} = \sqrt3 > a\) ✓. Третье: \(3\cdot4 = 12 \le 2a + 11\) ⟺ \(a \ge \frac12\) ✓. Все три сошлись.

Важно! Левая граница \(\frac12\) входит (первое и третье неравенства нестрогие), правая \(\sqrt3\) — нет (второе неравенство строгое). Тип скобки целиком определяется знаком в условии.

Ответ: \(a \in \left[\dfrac12;\ \sqrt3\right)\)

Шаг 1. Разбираемся с первым неравенством

Обозначим множители:

\[A = (x-3)^2 + (y-3)^2 - 1,\qquad B = (x-1)^2 + y^2.\]

Второй множитель — сумма квадратов, он никогда не бывает отрицательным: \(B \ge 0\). Значит произведение \(A\cdot B \le 0\) возможно только в двух случаях:

\[\textbf{(1)}\ B = 0 \quad\text{или}\quad \textbf{(2)}\ B > 0\ \text{и}\ A \le 0.\]

Важно! Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых нули. Это даёт одну точку, а не линию — такие «точечные» куски множества решений легко не заметить, а здесь именно точка и делает в ответе дырку.

Случай (1). \((x-1)^2 + y^2 = 0\) даёт единственную точку \((1;\,0)\).

Случай (2). \(A \le 0\) означает

\[(x-3)^2 + (y-3)^2 \le 1\]

— это круг с центром \((3;\,3)\) и радиусом \(1\) (вместе с границей). Точка \((1;\,0)\) в него не попадает, поэтому внутри круга \(B > 0\) автоматически.

Итого множество решений первого неравенства — круг и отдельно стоящая точка.

Шаг 2. Второе уравнение

\[y = ax + 2\]

— это пучок прямых, проходящих через фиксированную точку \((0;\,2)\); параметр \(a\) задаёт наклон.

Важно! Прямая \(y = ax + 2\) никогда не бывает вертикальной. Вертикаль \(x = 0\) в пучок не входит — но она нам и не понадобится, потому что \(x=0\) не задаётся уравнением такого вида ни при каком \(a\).

Шаг 3. Когда решений нет

Система не имеет решений ровно тогда, когда прямая не задевает ни круг, ни точку.

Условие «мимо точки (1; 0)». Подставим её в уравнение прямой:

\[0 = a\cdot 1 + 2 \;\Longrightarrow\; a = -2.\]

Значит при \(a = -2\) решение есть, и это значение в ответ не идёт.

Условие «мимо круга». Прямая пересекает круг тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой не больше радиуса. Запишем прямую в виде \(ax - y + 2 = 0\) и применим формулу расстояния от точки \((3;\,3)\):

\[d = \dfrac{|3a - 3 + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \dfrac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}.\]

Прямая задевает круг при \(d \le 1\):

\[(3a - 1)^2 \le a^2 + 1,\qquad 9a^2 - 6a + 1 \le a^2 + 1,\qquad 8a^2 - 6a \le 0,\]

\[2a(4a - 3) \le 0 \;\Longleftrightarrow\; 0 \le a \le \dfrac34.\]

Важно! Возводить в квадрат здесь законно: обе части неравенства \(|3a-1| \le \sqrt{a^2+1}\) неотрицательны. Если бы справа могло стоять отрицательное число, такой переход был бы ошибкой.

Значит прямая проходит мимо круга при \(a < 0\) или \(a > \dfrac34\). На рисунке два крайних положения \(a = 0\) и \(a = \dfrac34\) — это касательные: в обоих случаях \(d = 1\).

Шаг 4. Собираем ответ

Берём «мимо круга» и выбрасываем \(a = -2\) («попали в точку»):

\[\left(a < 0\ \text{или}\ a > \dfrac34\right)\quad\text{и}\quad a \neq -2.\]

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 0) \cup \left(\dfrac34;\ +\infty\right)\)

Шаг 1. Замена

Заметим, что \(4^x = \left(2^x\right)^2\). Обозначим

\[t = 2^x,\qquad t > 0.\]

Важно! Условие \(t > 0\) — не формальность. Показательная функция \(2^x\) пробегает все положительные числа, причём каждое ровно один раз. Поэтому «одному корню \(x\)» в точности отвечает «одно значение \(t > 0\)»: задача про \(x\) полностью переводится в задачу про \(t\).

Уравнение принимает вид

\[t - a = \sqrt{t^2 - 3a}.\]

Шаг 2. Избавляемся от корня

Равенство \(A = \sqrt{B}\) равносильно системе

\[\begin{cases}A^2 = B,\\ A \ge 0.\end{cases}\]

(Условие \(B \ge 0\) отдельно писать не нужно: оно следует из \(B = A^2\).)

\[\begin{cases}(t - a)^2 = t^2 - 3a,\\ t - a \ge 0.\end{cases}\]

Раскрываем первое:

\[t^2 - 2at + a^2 = t^2 - 3a,\qquad -2at + a^2 + 3a = 0,\qquad 2at = a(a + 3).\]

Шаг 3. Осторожно с делением на a

Важно! Здесь нельзя просто поделить на \(2a\) — случай \(a = 0\) надо разобрать отдельно, и он оказывается ключевым.

Случай \(a = 0\). Равенство \(2at = a(a+3)\) превращается в \(0 = 0\) — оно выполняется при любом \(t\). Проверим исходное уравнение: оно принимает вид \(t = \sqrt{t^2}\), то есть \(t = |t|\), что при \(t > 0\) верно всегда. Значит подходит любой \(x\) — корней бесконечно много, единственности нет. \(a = 0\) не годится.

Случай \(a \neq 0\). Делим на \(2a\):

\[t = \dfrac{a + 3}{2}.\]

Значение \(t\) определено однозначно — значит корень будет не более одного. Остаётся выяснить, когда он вообще есть.

Шаг 4. Два условия на найденное t

\[\textbf{(1)}\quad t > 0:\qquad \dfrac{a+3}{2} > 0 \;\Longleftrightarrow\; a > -3;\]

\[\textbf{(2)}\quad t - a \ge 0:\qquad \dfrac{a+3}{2} - a \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{3 - a}{2} \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; a \le 3.\]

На рисунке оранжевая прямая \(t = \dfrac{a+3}{2}\) выделена сплошной там, где она одновременно лежит выше оси \(t = 0\) и не ниже синей прямой \(t = a\). Это ровно промежуток \(-3 < a \le 3\); точка \(a = 0\) на нём выколота отдельно.

Шаг 5. Ответ

Объединяя: \(-3 < a \le 3\) и \(a \neq 0\).

Важно! Проверим границы подстановкой. При \(a = 3\): \(t = 3\), левая часть \(3 - 3 = 0\), правая \(\sqrt{9 - 9} = 0\) — верно, корень \(x = \log_2 3\) есть, граница входит. При \(a = -3\): \(t = 0\), но \(2^x\) нулём не бывает — корня нет, граница не входит.

Ответ: \(a \in (-3;\ 0) \cup (0;\ 3]\)

Шаг 1. ОДЗ

Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма строго положителен:

\[\begin{cases}7x - 4 \ge 0,\\ x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases}x \ge \dfrac47,\\ x^2 - 8x + 17 > a^2.\end{cases}\]

Важно! У корня условие нестрогое (\(\ge\)), у логарифма — строгое (\(>\)). Разница принципиальна: точка \(x = \frac47\) в ОДЗ входит и даёт корень, а точка, где аргумент логарифма равен нулю, — нет.

Шаг 2. Произведение равно нулю

Первый множитель:

\[\sqrt{7x - 4} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac47.\]

Это число лежит на отрезке \([0;\,4]\) (\(\frac47 \approx 0{,}57\)). Но корнем оно будет только если при \(x = \frac47\) логарифм вообще определён. Подставим:

\[\left(\dfrac47\right)^2 - 8\cdot\dfrac47 + 17 - a^2 = \dfrac{16}{49} - \dfrac{224}{49} + \dfrac{833}{49} - a^2 = \dfrac{625}{49} - a^2.\]

Условие \(\dfrac{625}{49} - a^2 > 0\) равносильно

\[a^2 < \dfrac{625}{49} \;\Longleftrightarrow\; |a| < \dfrac{25}{7}.\]

Второй множитель:

\[\ln\left(x^2 - 8x + 17 - a^2\right) = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1,\]

\[x^2 - 8x + 16 = a^2,\qquad (x - 4)^2 = a^2,\qquad x = 4 \pm |a|.\]

Эти значения автоматически проходят условие на логарифм (его аргумент там равен единице), но должны удовлетворять \(x \ge \dfrac47\).

Шаг 3. Картинка в плоскости (x; a)

Синий отрезок — корень \(x = \frac47\); он обрывается на уровнях \(a = \pm\frac{25}{7}\), где логарифм перестаёт существовать (концы выколоты). Оранжевые прямые \(a = 4 - x\) и \(a = x - 4\) — это корни \(x = 4 \pm |a|\); серым пунктиром показаны их куски при \(x < \frac47\), запрещённые ОДЗ. Пунктирная вертикаль \(x = 4\) — правый конец отрезка отбора.

Шаг 4. Считаем корни

Картинка симметрична относительно оси \(a = 0\), поэтому достаточно разобрать \(a \ge 0\) и в конце отразить. Обозначим \(t = |a|\).

Корень \(x = 4 + t\) попадает на отрезок \([0;\,4]\) только при \(t = 0\) (тогда это \(x = 4\)). При \(t > 0\) он правее четвёрки — не в счёт.

Корень \(x = 4 - t\) лежит на отрезке и проходит ОДЗ, когда

\[4 - t \ge \dfrac47 \;\Longleftrightarrow\; t \le \dfrac{24}{7}.\]

Теперь перебираем:

\[t = 0:\ \text{корни } \dfrac47\ \text{и } 4 \ —\ \textbf{два};\]

\[0 < t < \dfrac{24}{7}:\ \text{корни } \dfrac47\ \text{и } 4 - t,\ \text{они различны} \ —\ \textbf{два};\]

\[t = \dfrac{24}{7}:\ 4 - t = \dfrac47\ —\ \text{корни слились}, \ \textbf{один};\]

\[\dfrac{24}{7} < t < \dfrac{25}{7}:\ \text{второй корень вылетел из ОДЗ}, \ \text{остался } \dfrac47\ —\ \textbf{один};\]

\[t \ge \dfrac{25}{7}:\ \text{и } \dfrac47\ \text{перестал быть корнем} \ —\ \textbf{ни одного}.\]

Важно! Промежуток ответа очень узкий: \(\frac{24}{7} \approx 3{,}43\) и \(\frac{25}{7} \approx 3{,}57\). Разница всего \(\frac17\). По рисунку такую щель не разглядеть — её даёт только счёт. Рисунок нужен, чтобы понять логику, а границы считаем в столбик.

Итак, \(|a| \in \left[\dfrac{24}{7};\ \dfrac{25}{7}\right)\). Раскрываем модуль.

Ответ: \(a \in \left(-\dfrac{25}{7};\ -\dfrac{24}{7}\right] \cup \left[\dfrac{24}{7};\ \dfrac{25}{7}\right)\)