№5. Вероятности сложных событий

Шаг 1. Противоположное событие

Событию «хотя бы одна лампа не перегорит» противоположно событие «перегорели все три».

Шаг 2. Считаем его вероятность

Лампы независимы:

\[P(\overline{A}) = 0{,}8^3 = 0{,}512.\]

Шаг 3. Вычитаем из единицы

\[P(A) = 1 - 0{,}512 = 0{,}488.\]

Здесь вероятность перегорания необычно большая, поэтому и ответ получается меньше половины — это не ошибка.

Шаг 1. Сужаем пространство исходов

Шестёрка исключена, на каждом броске остаётся по пять значений:

\[n = 5\cdot 5 = 25.\]

Шаг 2. Ищем сумму 10

Из чисел \(1, 2, 3, 4, 5\) сумму \(10\) даёт единственная пара — \((5;5)\). Пары \((4;6)\) и \((6;4)\) запрещены условием.

\[m = 1.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{1}{25} = 0{,}04.\]

Шаг 1. Вероятность промаха

\[1 - 0{,}7 = 0{,}3.\]

Шаг 2. Последовательность задана

Порядок указан в условии, поэтому перебирать варианты не нужно — перемножаем вероятности независимых выстрелов:

\[P = 0{,}7\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3\cdot 0{,}3 = 0{,}7^2\cdot 0{,}3^2.\]

Шаг 3. Считаем

\[0{,}49\cdot 0{,}09 = 0{,}0441.\]

Шаг 1. Переходим к крайним зонам

Одно условие задано словом «меньше», другое — словом «больше», и напрямую их не сложить. Перевернём каждое через противоположное событие:

\[P(\text{масса не меньше } 810) = 1 - 0{,}96 = 0{,}04,\]
\[P(\text{масса не больше } 790) = 1 - 0{,}82 = 0{,}18.\]

Шаг 2. Вся шкала делится на три части

Масса буханки попадает ровно в одну из трёх зон: не больше \(790\), между \(790\) и \(810\), не меньше \(810\). Их вероятности в сумме дают единицу:

\[0{,}18 + P + 0{,}04 = 1.\]

Шаг 3. Находим искомое

\[P = 1 - 0{,}18 - 0{,}04 = 0{,}78.\]

Тот же ответ даёт формула объединения: \(P = 0{,}96 + 0{,}82 - 1 = 0{,}78\).

Шаг 1. Сужаем пространство исходов

Условие «известно, что пятёрки не было» убирает из таблицы всю пятую строку и весь пятый столбец. На каждом броске остаётся по пять значений:

\[n = 5\cdot 5 = 25.\]

Шаг 2. Ищем сумму 9 среди оставшихся

Подходят только \((3;6)\) и \((6;3)\). Пара \((4;5)\) и \((5;4)\) дала бы \(9\), но пятёрка запрещена.

\[m = 2.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{100} = 0{,}08.\]

Шаг 1. Сужаем пространство исходов

Фраза «известно, что...» означает условную вероятность: часть исходов уже отпала, и считать надо только среди оставшихся. Шестёрка не выпадала ни разу, поэтому на каждом броске осталось по пять значений:

\[n = 5\cdot 5 = 25.\]

Весь шестой столбец и вся шестая строка таблицы вычёркиваются.

Шаг 2. Ищем сумму 8 среди оставшихся

Подходят пары \((3;5)\), \((4;4)\), \((5;3)\). Пары \((2;6)\) и \((6;2)\) тоже дают \(8\), но они вычеркнуты условием.

\[m = 3.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{3}{25} = \dfrac{12}{100} = 0{,}12.\]