№14. Уравнения

Пункт а

По формуле приведения \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), поэтому

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}\cos x = 1.\]

Раскроем косинус разности, учитывая \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x.\]

Подставляем — слагаемые с косинусом взаимно уничтожаются:

\[\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1, \qquad \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad\text{или}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{17\pi}{2};\ 10\pi\right]\) удобно уменьшить на четыре полных оборота, то есть на \(8\pi\): получится \(\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]\) — три четверти оборота от верхней точки против часовой стрелки.

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) на эту дугу не попадает: её ближайшие представители \(\dfrac{33\pi}{4} < \dfrac{17\pi}{2}\) и \(\dfrac{41\pi}{4} > 10\pi\).

Из второй серии подходит ровно один корень: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 8\pi = \dfrac{35\pi}{4}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{35\pi}{4}\).

Пункт а

По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos x\). Уравнение принимает вид

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) - 2\cos x = 0, \qquad \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos x.\]

Раскроем косинус разности:

\[\cos x\cos\frac{\pi}{3} + \sin x\sin\frac{\pi}{3} = \cos x, \qquad \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos x,\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x.\]

Прежде чем делить на \(\cos x\), убедимся, что он не обращается в ноль. Если бы \(\cos x = 0\), то из равенства следовало бы и \(\sin x = 0\), а одновременно синус и косинус в ноль не обращаются. Значит деление законно:

\[\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — это три четверти оборота от начала отсчёта против часовой стрелки.

Подставляем значения \(k\):

\[k = -1:\ x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}; \qquad k = -2:\ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}.\]

Следующий корень \(\dfrac{\pi}{6} - 3\pi = -\dfrac{17\pi}{6}\) уже левее \(-2\pi\), а предыдущий \(\dfrac{\pi}{6}\) — правее \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{6}\).

Пункт а

Приведём левую часть к основанию 7. Так как \(\dfrac{1}{49} = 7^{-2}\),

\[\left(7^{-2}\right)^{\sin x} = 7^{\,2\sin 2x}, \qquad 7^{-2\sin x} = 7^{\,2\sin 2x}.\]

Показательная функция строго монотонна, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей:

\[-2\sin x = 2\sin 2x.\]

По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\):

\[4\sin x\cos x + 2\sin x = 0, \qquad 2\sin x\,(2\cos x + 1) = 0.\]

Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель:

\[\sin x = 0 \quad\text{или}\quad \cos x = -\frac{1}{2},\]

\[x = \pi k \quad\text{или}\quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую отрезку \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\). Его длина равна \(\dfrac{3\pi}{2}\), то есть три четверти оборота. Точке \(-4\pi\) отвечает начало отсчёта (это два полных оборота по часовой стрелке), а движение к \(-\dfrac{5\pi}{2}\) идёт против часовой стрелки.

Серия \(x = \pi k\) даёт на этой дуге две точки: \(-4\pi\) (при \(k=-4\)) и \(-3\pi\) (при \(k=-3\)).

Серия \(x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\) даёт ещё две: \(-4\pi + \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{10\pi}{3}\) и \(-4\pi + \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{8\pi}{3}\).

Конец дуги \(-\dfrac{5\pi}{2}\) корнем не является: там \(\sin x = 1\), а не 0, и \(\cos x = 0 \neq -\dfrac{1}{2}\).

Ответ: а) \(\pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-4\pi;\ -\dfrac{10\pi}{3};\ -3\pi;\ -\dfrac{8\pi}{3}\).