№14. Уравнения

Пункт а. Сначала область определения

В знаменателе стоит квадратный корень, значит подкоренное выражение должно быть строго положительным (на ноль делить нельзя):

\[7\sin x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x > 0.\]

Важно! ОДЗ выписываем до того, как начали преобразовывать дробь. Если оставить это на потом, легко забыть и записать в ответ лишнюю серию — а здесь именно так задача и устроена: половина корней отсекается условием \(\sin x > 0\).

Числитель равен нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю — об этом уже позаботилось ОДЗ):

\[4^{\sin 2x} = 2^{\,2\sqrt{3}\sin x}.\]

Приводим левую часть к основанию 2, пользуясь тем, что \(4 = 2^2\):

\[2^{\,2\sin 2x} = 2^{\,2\sqrt{3}\sin x}.\]

Функция \(y = 2^{t}\) строго возрастает, поэтому показатели равны:

\[2\sin 2x = 2\sqrt{3}\sin x,\qquad \sin 2x = \sqrt{3}\sin x.\]

Раскрываем синус двойного угла и выносим общий множитель:

\[2\sin x\cos x - \sqrt{3}\sin x = 0,\qquad \sin x\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) = 0.\]

Первый множитель нулю равняться не может: по ОДЗ \(\sin x > 0\). Значит остаётся

\[\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k.\]

Отсекаем лишнюю серию

Проверяем обе серии на условие \(\sin x > 0\):

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k:\quad \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} > 0\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k:\quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} < 0\ —\ \text{не подходит}.\]

Итог пункта а: \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\).

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{13\pi}{2};\ -5\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точка \(-\dfrac{13\pi}{2}\) лежит внизу окружности, а \(-5\pi\) — слева.

Переводим всё в шестые доли \(\pi\):

\[-\dfrac{13\pi}{2} = -\dfrac{39\pi}{6},\qquad -5\pi = -\dfrac{30\pi}{6}.\]

Корни серии имеют вид

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6},\]

и нужно, чтобы \(-39 \le 1 + 12k \le -30\), то есть \(-40 \le 12k \le -31\). Единственное целое: \(k = -3\), тогда \(1 + 12\cdot(-3) = -35\):

\[x = -\dfrac{35\pi}{6}.\]

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{35\pi}{6}\)

Пункт а

Логарифмы по одному основанию равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы, причём положительные. Достаточно потребовать положительность одного из них — второй ей равен:

\[\begin{cases} \sin 2x = \sqrt{2}\cos x, \\ \sqrt{2}\cos x > 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2\sin x\cos x = \sqrt{2}\cos x, \\ \cos x > 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \cos x\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0, \\ \cos x > 0. \end{cases}\]

Косинус положителен, значит в ноль он не обращается, и первый множитель отпадает:

\[\begin{cases} \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x > 0. \end{cases}\]

Уравнение \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) даёт две серии: \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) и \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\). Отметим на окружности дугу, где \(\cos x > 0\) — это правая половина, — и обе серии.

Точка \(\dfrac{3\pi}{4}\) лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, поэтому вторая серия не подходит. Остаётся

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от точки \(-\pi\) против часовой стрелки на три четверти оборота.

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) отмечает на окружности одну точку. На отрезок попадает её представитель при \(k = 0\), то есть \(x = \dfrac{\pi}{4}\); соседние \(\dfrac{\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}\) и \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}\) лежат вне отрезка.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{\pi}{4}\).