№14. Уравнения

Пункт а. Раскрываем синус суммы

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x,\]

\[2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin x + \cos x.\]

Подставляем:

\[\sqrt{3}\sin x + \cos x - 2\sqrt{3}\cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}.\]

Слагаемое \(\cos x\) стоит в обеих частях — сокращаем. Переносим всё влево:

\[\sqrt{3}\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sqrt{3} = 0.\]

Делим на \(\sqrt{3}\) (это число, оно не равно нулю):

\[\sin x - 2\cos^2 x + 2 = 0.\]

Переходим к синусу

\[\cos^2 x = 1 - \sin^2 x,\]

\[\sin x - 2\left(1 - \sin^2 x\right) + 2 = 0,\qquad \sin x - 2 + 2\sin^2 x + 2 = 0,\]

\[2\sin^2 x + \sin x = 0,\qquad \sin x\left(2\sin x + 1\right) = 0.\]

Важно! Свободные члены \(-2\) и \(+2\) взаимно уничтожились — квадратное уравнение осталось без свободного члена, и его не нужно решать через дискриминант: достаточно вынести \(\sin x\). И снова — выносим, а не сокращаем, иначе пропадёт серия \(x = \pi k\), дающая два корня из трёх.

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\sin x = -\dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем внизу окружности и идём против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\): \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6}\), \(-\pi = -\dfrac{6\pi}{6}\).

\[x = \pi k = \dfrac{6k\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{12\pi}{6} = -2\pi,\quad k = -1 \to -\dfrac{6\pi}{6} = -\pi\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{13\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 0 \to -\dfrac{5\pi}{6}\ (-5 > -6),\quad k = -1 \to -\dfrac{17\pi}{6}\ (-17 < -15)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Правый конец \(-\pi\) — корень и входит в отрезок. Порядок по возрастанию задают числители: \(-13 < -12 < -6\), то есть \(-\dfrac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi\).

Ответ: а) \(\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi\)

Пункт а. Раскрываем синус суммы

\[\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin 2x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos 2x\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x.\]

Умножаем на \(2\):

\[2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x.\]

Подставляем в уравнение:

\[\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1.\]

Важно! Слагаемые \(\sqrt{3}\sin 2x\) стоят в обеих частях — они сокращаются. Ради этого всё и было задумано: двойной угол из задачи исчезает, и остаётся уравнение только относительно \(x\).

\[\cos 2x - \cos x + 1 = 0.\]

Сводим к одному косинусу

Берём \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\):

\[2\cos^2 x - 1 - \cos x + 1 = 0,\qquad 2\cos^2 x - \cos x = 0,\qquad \cos x\left(2\cos x - 1\right) = 0.\]

\[\cos x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[\cos x = \dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Из трёх форм двойного угла берём ту, где только косинус: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\). Тогда свободные члены \(-1\) и \(+1\) взаимно уничтожаются, и получается уравнение без свободного члена — его легко разложить на множители.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: от верхней точки окружности против часовой стрелки до правой.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6}\), \(4\pi = \dfrac{24\pi}{6}\).

\[x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k = \dfrac{(3 + 6k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{15\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{2},\quad k = 3 \to \dfrac{21\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{14\pi}{6}\ (14 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{26\pi}{6}\ (26 > 24)\ —\ \text{мимо}.\]

Левый конец \(\dfrac{5\pi}{2}\) — корень и входит в отрезок. По возрастанию числители идут \(15 < 21 < 22\), поэтому ответ: \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{3}\).

Важно! Здесь легко перепутать порядок: \(\dfrac{7\pi}{2}\) кажется «больше», чем \(\dfrac{11\pi}{3}\), ведь \(7 > 11\) неверно, а знаменатели разные. Приведение к общему знаменателю (\(21\) и \(22\) шестых) снимает вопрос.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{3}\)

Пункт а. Замена

Заметим, что \(16 = 4^2\), поэтому

\[16^{\sin x} = \left(4^2\right)^{\sin x} = \left(4^{\sin x}\right)^2.\]

Значит уравнение квадратное относительно \(t = 4^{\sin x}\), причём \(t > 0\):

\[t^2 - 6t + 8 = 0,\qquad D = 36 - 32 = 4,\]

\[t_1 = \dfrac{6 + 2}{2} = 4,\qquad t_2 = \dfrac{6 - 2}{2} = 2.\]

Возвращаемся к x

\[4^{\sin x} = 4 \;\Longrightarrow\; \sin x = 1;\]

\[4^{\sin x} = 2:\quad 2^{\,2\sin x} = 2^1 \;\Longrightarrow\; 2\sin x = 1 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2}.\]

Важно! \(\sin x = 1\) даёт одну серию \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), а не две: единицы синус достигает в единственной точке окружности. Писать здесь «\(\pm\)» — ошибка.

\[x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\qquad x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-5\pi;\ -\dfrac{7\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем слева (точка \(-5\pi\) лежит там же, где \(\pi\)) и идём против часовой стрелки до верха окружности.

В шестых долях \(\pi\): \(-5\pi = -\dfrac{30\pi}{6}\), \(-\dfrac{7\pi}{2} = -\dfrac{21\pi}{6}\). Числители трёх серий — это \(3,\ 1,\ 5\) и далее с шагом \(12\). Ищем те, что лежат между \(-30\) и \(-21\):

\[\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k = \dfrac{(3 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{21\pi}{6} = -\dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{подходит (это конец отрезка)};\]

\[\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{19\pi}{6}\ (-19 > -21),\quad k = -3 \to -\dfrac{31\pi}{6}\ (-31 < -30).\]

Третья серия в отрезок не попадает — на рисунке её точка светлая.

Важно! Конец отрезка \(-\dfrac{7\pi}{2}\) сам оказался корнем. Скобки квадратные, значит его обязательно включаем в ответ. Проверка: \(\sin\left(-\dfrac{7\pi}{2}\right) = 1\), и \(16 - 6\cdot 4 + 8 = 0\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{23\pi}{6}\)

Пункт а. Две формулы приведения

Обе функции в показателях упрощаются:

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.\]

Одно основание

Слева основание \(\dfrac{1}{49} = 49^{-1} = 7^{-2}\), значит

\[\left(\dfrac{1}{49}\right)^{-\sin x} = \left(7^{-2}\right)^{-\sin x} = 7^{\,2\sin x}.\]

Уравнение принимает вид

\[7^{\,2\sin x} = 7^{\,2\sqrt{3}\cos x}.\]

Основания одинаковые, функция \(y = 7^{t}\) строго возрастает — значит равны показатели:

\[2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x,\qquad \sin x = \sqrt{3}\cos x.\]

Переходим к тангенсу

Проверим, может ли \(\cos x = 0\). Если \(\cos x = 0\), то из равенства получаем и \(\sin x = 0\), а одновременно синус и косинус в ноль не обращаются (\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)). Значит \(\cos x \neq 0\), и на него можно поделить:

\[\operatorname{tg} x = \sqrt{3},\qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Деление на \(\cos x\) допустимо только после явной проверки, что \(\cos x \neq 0\). Одна строчка рассуждения — и приём становится законным.

Важно! Период тангенса равен \(\pi\), а не \(2\pi\). Записать \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\) — значит потерять половину корней.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается слева и заканчивается вверху окружности.

Переводим в трети \(\pi\):

\[3\pi = \dfrac{9\pi}{3},\qquad \dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{27\pi}{6} = \dfrac{13{,}5\,\pi}{3}.\]

Корни имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k = \dfrac{(1 + 3k)\pi}{3}\). Нужно \(9 \le 1 + 3k \le 13{,}5\):

\[k = 3:\ \dfrac{10\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\qquad k = 4:\ \dfrac{13\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 2:\ \dfrac{7\pi}{3}\ —\ \text{левее начала};\qquad k = 5:\ \dfrac{16\pi}{3}\ —\ \text{правее конца}.\]

Обе точки серии, попавшие на дугу, лежат на одном диаметре — это видно на рисунке: тангенс повторяется через половину оборота.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3}\)

Пункт а. Формула приведения и замена

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\]

поэтому второе слагаемое — это

\[16^{-\sin x} = \dfrac{1}{16^{\sin x}}.\]

Обозначим \(t = 16^{\sin x}\), причём \(t > 0\) как значение показательной функции:

\[t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}.\]

Умножаем на \(4t\):

\[4t^2 - 17t + 4 = 0,\qquad D = 289 - 64 = 225,\qquad \sqrt{D} = 15,\]

\[t_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4,\qquad t_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = \dfrac{1}{4}.\]

Оба значения положительны, оба годятся.

Возвращаемся к x

Приводим к основанию 2 (\(16 = 2^4\)):

\[2^{\,4\sin x} = 2^2 \;\Longrightarrow\; 4\sin x = 2 \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{1}{2};\]

\[2^{\,4\sin x} = 2^{-2} \;\Longrightarrow\; 4\sin x = -2 \;\Longrightarrow\; \sin x = -\dfrac{1}{2}.\]

Важно! Здесь нет лишних проверок вида «\(|\sin x| \le 1\)» — оба значения по модулю меньше единицы. Но привычку проверять стоит сохранять: в аналогичных заданиях вместо \(\dfrac{17}{4}\) может стоять число, дающее \(\sin x = 2\).

\[x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от низа окружности против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\) концы отрезка — это \(\dfrac{9\pi}{6}\) и \(\dfrac{18\pi}{6}\), а четыре точки серий дают числители \(1,\ 5,\ 7,\ 11\) и далее с шагом \(12\). Между \(9\) и \(18\) попадают

\[\dfrac{11\pi}{6},\qquad \dfrac{13\pi}{6},\qquad \dfrac{17\pi}{6}.\]

Числитель \(19\) уже больше \(18\), числитель \(7\) меньше \(9\) — эта точка на рисунке светлая, она лежит вне дуги.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{6};\ \dfrac{13\pi}{6};\ \dfrac{17\pi}{6}\)

Пункт а. Приводим показатели к одной величине

В показателях стоят две разные тригонометрические функции. Свяжем их формулой косинуса двойного угла:

\[\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.\]

Теперь обе степени выразим через основание 2, обозначив \(s = \sin^2 x\):

\[16^{\sin^2 x} = 2^{4s},\qquad 4^{\cos 2x} = 2^{\,2(1 - 2s)} = 2^{\,2 - 4s}.\]

Подставляем в уравнение и сворачиваем множители \(8 = 2^3\) и \(2 = 2^1\):

\[2^3\cdot 2^{4s} - 2^1\cdot 2^{\,2-4s} = 63,\qquad 2^{\,3 + 4s} - 2^{\,3 - 4s} = 63.\]

Замена

Пусть \(w = 2^{4s}\). Тогда \(2^{\,3+4s} = 8w\), а \(2^{\,3-4s} = \dfrac{8}{w}\):

\[8w - \dfrac{8}{w} = 63.\]

Важно! Отметим границы для \(w\): \(s = \sin^2 x \in [0;\,1]\), поэтому \(w = 2^{4s} \in [1;\,16]\). В частности \(w > 0\) — это разрешает умножить обе части на \(w\).

\[8w^2 - 63w - 8 = 0,\qquad D = 63^2 + 4\cdot 8\cdot 8 = 3969 + 256 = 4225,\qquad \sqrt{D} = 65,\]

\[w_1 = \dfrac{63 + 65}{16} = 8,\qquad w_2 = \dfrac{63 - 65}{16} = -\dfrac{1}{8}.\]

Отрицательный корень отбрасываем. Остаётся \(w = 8\):

\[2^{4s} = 2^3,\qquad 4s = 3,\qquad \sin^2 x = \dfrac{3}{4}.\]

Возвращаемся к x

\[\sin x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Это четыре точки на окружности — по две на каждый знак:

\[x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\qquad x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Все четыре точки лежат на окружности через равные промежутки \(\dfrac{\pi}{3}\), поэтому ответ можно записать и одной серией \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k\). Для отбора в пункте б удобнее помнить именно «четыре точки».

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается внизу окружности и заканчивается слева.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{21\pi}{6}\), \(5\pi = \dfrac{30\pi}{6}\). А наши четыре точки в шестых долях — это числители \(2,\ 4,\ 8,\ 10\) (и дальше с шагом \(12\)). Выписываем все, что попали между \(21\) и \(30\):

\[\dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3},\qquad \dfrac{26\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{3},\qquad \dfrac{28\pi}{6} = \dfrac{14\pi}{3}.\]

Следующий кандидат \(\dfrac{32\pi}{6}\) уже больше \(\dfrac{30\pi}{6}\), предыдущий \(\dfrac{20\pi}{6}\) — меньше \(\dfrac{21\pi}{6}\). Четвёртая точка серии (на рисунке светлая) лежит на «пустом» куске окружности.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3};\ \dfrac{13\pi}{3};\ \dfrac{14\pi}{3}\)