Пункт а
Приведём левую часть к основанию 7. Так как \(\dfrac{1}{49} = 7^{-2}\),
\[\left(7^{-2}\right)^{\sin x} = 7^{\,2\sin 2x}, \qquad 7^{-2\sin x} = 7^{\,2\sin 2x}.\]
Показательная функция строго монотонна, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей:
\[-2\sin x = 2\sin 2x.\]
По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\):
\[4\sin x\cos x + 2\sin x = 0, \qquad 2\sin x\,(2\cos x + 1) = 0.\]
Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель:
\[\sin x = 0 \quad\text{или}\quad \cos x = -\frac{1}{2},\]
\[x = \pi k \quad\text{или}\quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]
Пункт б
Отметим на тригонометрической окружности дугу, отвечающую отрезку \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\). Его длина равна \(\dfrac{3\pi}{2}\), то есть три четверти оборота. Точке \(-4\pi\) отвечает начало отсчёта (это два полных оборота по часовой стрелке), а движение к \(-\dfrac{5\pi}{2}\) идёт против часовой стрелки.
Серия \(x = \pi k\) даёт на этой дуге две точки: \(-4\pi\) (при \(k=-4\)) и \(-3\pi\) (при \(k=-3\)).
Серия \(x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\) даёт ещё две: \(-4\pi + \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{10\pi}{3}\) и \(-4\pi + \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{8\pi}{3}\).
Конец дуги \(-\dfrac{5\pi}{2}\) корнем не является: там \(\sin x = 1\), а не 0, и \(\cos x = 0 \neq -\dfrac{1}{2}\).
Ответ: а) \(\pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\); б) \(-4\pi;\ -\dfrac{10\pi}{3};\ -3\pi;\ -\dfrac{8\pi}{3}\).
