№14. Уравнения

Пункт а

Из двух формул косинуса двойного угла выбираем ту, что выражает его через квадрат косинуса: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\). Тогда

\[2\cos^2 x - 1 + 0{,}75 = \cos^2 x, \qquad \cos^2 x - 0{,}25 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x = \pm\frac{1}{2}.\]

Каждое из двух уравнений даёт по две серии — всего четыре:

\[x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \qquad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

На окружности это четыре точки, симметричные относительно обеих осей, и стоят они через \(\pi\). Поэтому четыре серии сворачиваются в одну запись:

\[x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): точке \(-4\pi\) отвечает начало отсчёта, дальше идём против часовой стрелки на три четверти оборота.

На дугу попадают три точки:

\[-4\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3}, \qquad -4\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}, \qquad -4\pi + \frac{4\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}.\]

Четвёртая точка серии отвечает углу \(\dfrac{5\pi}{3}\), то есть числу \(-\dfrac{7\pi}{3}\), а оно правее конца отрезка. Сами концы \(-4\pi\) и \(-\dfrac{5\pi}{2}\) корнями не являются: там косинус равен \(1\) и \(0\).

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{3};\ -\dfrac{10\pi}{3};\ -\dfrac{8\pi}{3}\).

Пункт а

По формуле синуса разности

\[\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \sin x\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(\sin x - \cos x).\]

Подставляем и возводим в квадрат:

\[\cos^2 x + \frac{1}{2}\left(\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x\right) = \frac{1}{2}.\]

По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), поэтому

\[\cos^2 x + \frac{1}{2}\,(1 - 2\sin x\cos x) = \frac{1}{2}, \qquad 2\cos^2 x - 2\sin x\cos x = 0,\]

\[2\cos x\,(\cos x - \sin x) = 0.\]

Отсюда либо \(\cos x = 0\), либо \(\cos x = \sin x\). Во втором случае делить на \(\cos x\) законно: если бы он был нулём, то и синус оказался бы нулём, что невозможно. Получаем

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad\text{или}\quad \operatorname{tg} x = 1,\ \text{то есть}\ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \([5\pi;\ 6\pi]\) имеет длину \(\pi\) — это половина оборота. Уменьшим его на два полных оборота (\(4\pi\)): получится \([\pi;\ 2\pi]\), то есть нижняя половина окружности.

Каждая серия с периодом \(\pi\) отмечает на окружности две диаметрально противоположные точки. В нижнюю половину попадают по одной точке от каждой серии:

\[x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{21\pi}{4} \quad\text{и}\quad x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}.\]

Концы отрезка \(5\pi\) и \(6\pi\) корнями не являются: там \(\sin x = 0\) и \(\cos x = \pm 1\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{21\pi}{4};\ \dfrac{11\pi}{2}\).

Пункт а

Логарифмы по одному основанию равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы, причём положительные. Достаточно потребовать положительность одного из них — второй ей равен:

\[\begin{cases} \sin 2x = \sqrt{2}\cos x, \\ \sqrt{2}\cos x > 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2\sin x\cos x = \sqrt{2}\cos x, \\ \cos x > 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \cos x\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0, \\ \cos x > 0. \end{cases}\]

Косинус положителен, значит в ноль он не обращается, и первый множитель отпадает:

\[\begin{cases} \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x > 0. \end{cases}\]

Уравнение \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) даёт две серии: \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) и \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\). Отметим на окружности дугу, где \(\cos x > 0\) — это правая половина, — и обе серии.

Точка \(\dfrac{3\pi}{4}\) лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, поэтому вторая серия не подходит. Остаётся

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от точки \(-\pi\) против часовой стрелки на три четверти оборота.

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) отмечает на окружности одну точку. На отрезок попадает её представитель при \(k = 0\), то есть \(x = \dfrac{\pi}{4}\); соседние \(\dfrac{\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}\) и \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}\) лежат вне отрезка.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{\pi}{4}\).

Пункт а

По формуле синуса разности и формуле приведения

\[\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x, \qquad \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) = \sin x.\]

Уравнение принимает вид

\[2\sin x\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) - 3\sqrt{2}\sin x = 0,\]

\[\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x\cos x - 3\sqrt{2}\sin x = 0, \qquad \sin x\left(\sin x - \sqrt{3}\cos x - 3\sqrt{2}\right) = 0.\]

Значит выполняется одно из двух условий.

Первый случай: \(\sin x = 0\), откуда \(x = \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\).

Второй случай: \(\sin x - \sqrt{3}\cos x = 3\sqrt{2}\). Разделим обе части на 2 и свернём левую часть по формуле синуса разности:

\[\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{3\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3}\sin x - \sin\frac{\pi}{3}\cos x = \frac{3\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}.\]

Синус не превосходит единицы, а правая часть больше единицы: \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2} > \dfrac{3\cdot 1{,}4}{2} = 2{,}1\). Решений нет.

Остаётся \(x = \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\).

Пункт б

Отрезок \(\left[-6\pi;\ -\dfrac{9\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точке \(-6\pi\) отвечает начало отсчёта (три полных оборота по часовой стрелке), дальше движемся против часовой стрелки.

Серия \(x = \pi k\) отмечает на окружности только две точки — начало отсчёта и диаметрально противоположную. На дугу попадают \(-6\pi\) (при \(k=-6\)) и \(-5\pi\) (при \(k=-5\)). Конец дуги \(-\dfrac{9\pi}{2}\) корнем не является: там \(\sin x = -1\).

Ответ: а) \(\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-6\pi;\ -5\pi\)

Пункт а

По формуле приведения \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), поэтому

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}\cos x = 1.\]

Раскроем косинус разности, учитывая \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x.\]

Подставляем — слагаемые с косинусом взаимно уничтожаются:

\[\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1, \qquad \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad\text{или}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{17\pi}{2};\ 10\pi\right]\) удобно уменьшить на четыре полных оборота, то есть на \(8\pi\): получится \(\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]\) — три четверти оборота от верхней точки против часовой стрелки.

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) на эту дугу не попадает: её ближайшие представители \(\dfrac{33\pi}{4} < \dfrac{17\pi}{2}\) и \(\dfrac{41\pi}{4} > 10\pi\).

Из второй серии подходит ровно один корень: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 8\pi = \dfrac{35\pi}{4}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{35\pi}{4}\).

Пункт а

По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos x\). Уравнение принимает вид

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) - 2\cos x = 0, \qquad \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos x.\]

Раскроем косинус разности:

\[\cos x\cos\frac{\pi}{3} + \sin x\sin\frac{\pi}{3} = \cos x, \qquad \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos x,\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x.\]

Прежде чем делить на \(\cos x\), убедимся, что он не обращается в ноль. Если бы \(\cos x = 0\), то из равенства следовало бы и \(\sin x = 0\), а одновременно синус и косинус в ноль не обращаются. Значит деление законно:

\[\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — это три четверти оборота от начала отсчёта против часовой стрелки.

Подставляем значения \(k\):

\[k = -1:\ x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}; \qquad k = -2:\ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}.\]

Следующий корень \(\dfrac{\pi}{6} - 3\pi = -\dfrac{17\pi}{6}\) уже левее \(-2\pi\), а предыдущий \(\dfrac{\pi}{6}\) — правее \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{6}\).