№14. Уравнения

Пункт а

Раскроем синус суммы:

\[\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.\]

Квадрат косинуса заменим по основному тождеству: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Перенесём всё влево:

\[2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) + 2\left(1 - \sin^2 x\right) - 2 - \sqrt{6}\cos x = 0.\]

Раскрываем скобки. Заметим, что \(2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}\) — именно это слагаемое уничтожится с \(-\sqrt{6}\cos x\):

\[\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x + 2 - 2\sin^2 x - 2 - \sqrt{6}\cos x = 0,\]

\[\sqrt{2}\sin x - 2\sin^2 x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\left(\sqrt{2} - 2\sin x\right) = 0.\]

Отсюда \(\sin x = 0\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то есть

\[x = \pi k;\quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Отбросим полные обороты: точке \(-3\pi\) отвечает угол \(\pi\), точке \(-\dfrac{3\pi}{2}\) — угол \(\dfrac{\pi}{2}\), и идти надо против часовой стрелки.

Серия \(x = \pi k\) даёт на дуге две точки: \(-3\pi\) (левый конец отрезка) и \(-2\pi\). Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) даёт \(-\dfrac{7\pi}{4}\). Серия \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) на дугу не попадает: её представители \(-\dfrac{5\pi}{4}\) и \(-\dfrac{13\pi}{4}\) лежат вне отрезка.

Ответ: а) \(\pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ -\dfrac{7\pi}{4}\).

Пункт а

Сначала формула приведения, затем косинус двойного угла через квадрат синуса:

\[\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x = -\left(1 - 2\sin^2 x\right) = 2\sin^2 x - 1.\]

Упростим и корни: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Подставляем — свободные члены слева сокращаются:

\[2 + 4\sin^2 x - 2 - 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} - 2\sqrt{3}\sin x,\]

\[4\sin^2 x - 2\sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0.\]

В первых двух слагаемых вынесем \(2\sin x\), в последних двух — \(\sqrt{3}\), учитывая \(\sqrt{6} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\):

\[2\sin x\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) + \sqrt{3}\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0, \qquad \left(2\sin x + \sqrt{3}\right)\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0.\]

Отсюда \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то есть

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от верхней точки окружности против часовой стрелки до начала отсчёта.

На дугу попадают три точки:

\[\frac{3\pi}{4}, \qquad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}, \qquad -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}.\]

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) не подходит: \(\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}\), а \(\dfrac{9\pi}{4} > 2\pi\).

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{3\pi}{4};\ \dfrac{4\pi}{3};\ \dfrac{5\pi}{3}\).

Пункт а

Период синуса равен \(2\pi\), поэтому \(\sin(2\pi + x) = \sin x\). Кроме того, \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\). Уравнение принимает вид

\[2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{6}\cos x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x.\]

Слева вынесем \(\sin x\), справа — \(\sqrt{3}\cos x\), заметив, что \(\sqrt{6} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\):

\[\sin x\left(2\sin x + \sqrt{2}\right) = \sqrt{3}\cos x\left(2\sin x + \sqrt{2}\right).\]

Общая скобка \(\left(2\sin x + \sqrt{2}\right)\) — это и есть ключ задачи. Переносим всё влево:

\[\left(\sin x - \sqrt{3}\cos x\right)\left(2\sin x + \sqrt{2}\right) = 0.\]

Первый множитель: \(\sin x = \sqrt{3}\cos x\). Делить на косинус можно: если бы \(\cos x = 0\), то и \(\sin x = 0\), а вместе они в ноль не обращаются. Получаем

\[\operatorname{tg} x = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Второй множитель: \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то есть

\[x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точке \(\dfrac{3\pi}{2}\) отвечает нижняя точка окружности, дальше идём против часовой стрелки три четверти оборота и попадаем в точку \(3\pi\), которой отвечает угол \(\pi\).

На дугу попадают две точки: \(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4}\) из второй серии и \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}\) из первой.

Серия \(x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) даёт \(\dfrac{5\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{2}\) и \(\dfrac{13\pi}{4} > 3\pi\) — ни одна точка не подходит. Из первой серии ближайшие соседи \(\dfrac{4\pi}{3} < \dfrac{3\pi}{2}\) и \(\dfrac{10\pi}{3} > 3\pi\).

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{7\pi}{4};\ \dfrac{7\pi}{3}\).

Пункт а

Слева по основному тригонометрическому тождеству \(2 - 2\cos^2 x = 2\left(1 - \cos^2 x\right) = 2\sin^2 x\). Справа по формуле приведения \(\sin(x+\pi) = -\sin x\), поэтому \(-2\sin(x+\pi) = 2\sin x\). Уравнение принимает вид

\[2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3} + 2\sin x, \qquad 2\sin^2 x - 2\sin x + \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3} = 0.\]

В первых двух слагаемых вынесем \(2\sin x\), в последних двух — \(\sqrt{3}\):

\[2\sin x(\sin x - 1) + \sqrt{3}(\sin x - 1) = 0, \qquad \left(2\sin x + \sqrt{3}\right)(\sin x - 1) = 0.\]

Отсюда \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\sin x = 1\), то есть

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Уравнение \(\sin x = 1\) даёт одну серию, а не две: единицы синус достигает в единственной точке окружности.

Пункт б

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): точке \(-4\pi\) отвечает начало отсчёта, дальше против часовой стрелки.

На дугу попадают две точки:

\[-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2} \quad\text{и}\quad -4\pi + \frac{4\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}.\]

Третья точка серий отвечает углу \(\dfrac{5\pi}{3}\), то есть числу \(-\dfrac{7\pi}{3}\) — оно правее конца отрезка.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{8\pi}{3}\).

Пункт а

Первое слагаемое: \(-2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 2x\), и по формуле приведения

\[\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.\]

Второе слагаемое: период синуса равен \(2\pi\), поэтому \(\sin(4\pi - x) = \sin(-x) = -\sin x\). Подставляем:

\[1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0.\]

Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\); разложим левую часть на множители:

\[(1 - \sin x)(2\sin x + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x = 1 \quad\text{или}\quad \sin x = -\frac{1}{2},\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;\quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Обратите внимание: уравнение \(\sin x = 1\) даёт всего одну серию, а не две — синус достигает единицы в одной точке окружности.

Пункт б

Отрезок \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Отбросим два полных оборота: точке \(-\dfrac{7\pi}{2}\) отвечает угол \(\dfrac{\pi}{2}\), точке \(-2\pi\) — начало отсчёта.

На дугу попадают три точки:

\[-\frac{7\pi}{2} \ \text{(левый конец, он же корень серии}\ \tfrac{\pi}{2}+2\pi k), \qquad -\frac{17\pi}{6}, \qquad -\frac{13\pi}{6}.\]

Правый конец \(-2\pi\) корнем не является: там \(\sin x = 0\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{17\pi}{6};\ -\dfrac{13\pi}{6}\).

Пункт а

Синус — функция нечётная, поэтому \(\sin(-x) = -\sin x\). А по основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставляем:

\[2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x - 4\left(1 - \sin^2 x\right) = \sqrt{2} - 4,\]

\[4\sin^2 x + 2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2} = 0.\]

Квадратное уравнение относительно \(\sin x\) здесь решать не обязательно: левая часть группируется. В первых двух слагаемых вынесем \(2\sin x\), в последних двух — \(-\sqrt{2}\):

\[2\sin x\left(1 + 2\sin x\right) - \sqrt{2}\left(1 + 2\sin x\right) = 0, \qquad \left(2\sin x - \sqrt{2}\right)\left(1 + 2\sin x\right) = 0.\]

Отсюда

\[\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{или}\quad \sin x = -\frac{1}{2},\]

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — от нижней точки окружности против часовой стрелки на три четверти оборота.

Из четырёх серий на дугу попадают три точки: \(-\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\). Четвёртая серия даёт \(-\dfrac{5\pi}{6}\), а это левее \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{\pi}{6};\ \dfrac{\pi}{4};\ \dfrac{3\pi}{4}\).