№14. Уравнения

Пункт а. Раскрываем первое слагаемое

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin x\cos\dfrac{\pi}{3} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x.\]

Умножаем на \(8\cos x\):

\[8\cos x\left(\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 4\sin x\cos x + 4\sqrt{3}\cos^2 x = 2\sin 2x + 4\sqrt{3}\cos^2 x.\]

Ещё упростим корень: \(\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}\). Левая часть принимает вид

\[2\sin 2x + 4\sqrt{3}\cos^2 x + 4\sqrt{3}\sin^2 x.\]

Главный шаг: свернуть основное тождество

Два последних слагаемых имеют одинаковый коэффициент \(4\sqrt{3}\):

\[4\sqrt{3}\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right) = 4\sqrt{3}\cdot 1 = 4\sqrt{3}.\]

Важно! Вот ради чего в условии стоит именно \(\sqrt{48}\): после упрощения \(4\sqrt{3}\) совпадает с коэффициентом при \(\cos^2 x\), и квадраты схлопываются в единицу. Если коэффициенты у \(\sin^2 x\) и \(\cos^2 x\) одинаковые — это всегда сигнал применить \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Уравнение становится линейным относительно \(\sin 2x\):

\[2\sin 2x + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 8\sin 2x,\qquad 10\sin 2x = 5\sqrt{3},\qquad \sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Решаем относительно 2x

Синус равен \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) в двух точках окружности:

\[2x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\quad\text{или}\quad 2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k.\]

Делим пополам — и период делим тоже:

\[x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k,\qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! После деления на \(2\) период стал \(\pi\). Если по привычке оставить \(2\pi k\), половина корней пропадёт — а в пункте б они как раз нужны.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{11\pi}{4};\ \dfrac{17\pi}{4}\right]\) имеет длину \(\dfrac{6\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}\). Его начало отвечает точке \(\dfrac{3\pi}{4}\) окружности, конец — точке \(\dfrac{\pi}{4}\): непокрытым остаётся только верхний сектор.

Концы отрезка — в четвертях \(\pi\), а корни — в шестых и третьих долях. Приводим всё к двенадцатым:

\[\dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{33\pi}{12},\qquad \dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{51\pi}{12}.\]

\[x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{12}:\quad k = 3 \to \dfrac{38\pi}{12} = \dfrac{19\pi}{6},\quad k = 4 \to \dfrac{50\pi}{12} = \dfrac{25\pi}{6}\ —\ \text{оба подходят};\]

\[k = 2 \to \dfrac{26\pi}{12}\ (26 < 33),\quad k = 5 \to \dfrac{62\pi}{12}\ (62 > 51)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k = \dfrac{(4 + 12k)\pi}{12}:\quad k = 3 \to \dfrac{40\pi}{12} = \dfrac{10\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 2 \to \dfrac{28\pi}{12}\ (28 < 33),\quad k = 4 \to \dfrac{52\pi}{12}\ (52 > 51)\ —\ \text{мимо на одну двенадцатую}.\]

Важно! Последний случай показателен: \(\dfrac{52\pi}{12}\) отличается от конца отрезка всего на \(\dfrac{\pi}{12}\). По рисунку такое различие не увидеть — спасает только сравнение числителей.

Выписываем корни по возрастанию: числители \(38 < 40 < 50\), то есть \(\dfrac{19\pi}{6};\ \dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{25\pi}{6}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{19\pi}{6};\ \dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{25\pi}{6}\)

Пункт а. Произведение двух синусов

Слева перемножаются синусы углов \(x + \dfrac{\pi}{4}\) и \(x - \dfrac{\pi}{4}\) — это сумма и разность одних и тех же величин. Для такого случая есть удобная формула:

\[\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta.\]

Здесь \(\alpha = x\), \(\beta = \dfrac{\pi}{4}\), а \(\sin^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}\):

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin^2 x - \dfrac{1}{2}.\]

Важно! Если формула не вспомнилась, тот же результат даёт преобразование произведения в разность косинусов: \(\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\left(\cos(A - B) - \cos(A + B)\right)\). Здесь \(A - B = \dfrac{\pi}{2}\), \(A + B = 2x\), и сразу получается \(\dfrac{1}{2}\left(0 - \cos 2x\right) = -\dfrac{\cos 2x}{2}\).

Выразим это через \(\cos 2x\). Из \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) следует \(\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\), значит

\[\sin^2 x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 - \cos 2x}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{\cos 2x}{2}.\]

Выносим cos 2x

Уравнение становится таким:

\[-\dfrac{\cos x\cos 2x}{2} = \cos 2x.\]

Переносим всё влево и умножаем на \(-2\):

\[\cos x\cos 2x + 2\cos 2x = 0,\qquad \cos 2x\left(\cos x + 2\right) = 0.\]

Вторая скобка в ноль не обращается: \(\cos x \ge -1\), поэтому \(\cos x + 2 \ge 1 > 0\).

Остаётся cos 2x = 0

\[2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\qquad x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2},\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Делим на \(2\) — и период делится тоже: было \(\pi k\), стало \(\dfrac{\pi k}{2}\). Это четыре точки на окружности, расположенные крестом: все середины четвертей.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): точка \(-4\pi\) — правая точка окружности, идём против часовой стрелки до низа.

В четвертях \(\pi\): \(-4\pi = -\dfrac{16\pi}{4}\), \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{10\pi}{4}\).

Корни \(x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2} = \dfrac{(1 + 2k)\pi}{4}\) — это все нечётные числители. Между \(-16\) и \(-10\) нечётных ровно три:

\[-\dfrac{15\pi}{4},\qquad -\dfrac{13\pi}{4},\qquad -\dfrac{11\pi}{4}.\]

Четвёртая точка «креста» отвечает числителю \(-9\) — она правее конца отрезка, на рисунке светлая.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{15\pi}{4};\ -\dfrac{13\pi}{4};\ -\dfrac{11\pi}{4}\)

Пункт а. Убираем сдвиг справа

Раскроем синус разности:

\[\sin\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin x\cos\dfrac{3\pi}{2} - \cos x\sin\dfrac{3\pi}{2}.\]

Здесь \(\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0\), а \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\), поэтому

\[\sin\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 - \cos x\cdot(-1) = \cos x.\]

Важно! Если формулы приведения не вспоминаются мгновенно, всегда можно вывести результат через синус разности — это надёжнее мнемоники «лошадь кивает / мотает головой». Главное — не ошибиться в знаке у \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\).

Уравнение принимает вид

\[\sin 2x = \cos x,\qquad 2\sin x\cos x - \cos x = 0,\qquad \cos x\left(2\sin x - 1\right) = 0.\]

Важно! Не сокращаем на \(\cos x\)! Серия \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\) даёт в пункте б два корня из трёх.

Два простейших уравнения

\[\cos x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[\sin x = \dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: от верхней точки окружности против часовой стрелки до правой.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6}\), \(4\pi = \dfrac{24\pi}{6}\).

\[x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k = \dfrac{(3 + 6k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{15\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{2},\quad k = 3 \to \dfrac{21\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{17\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{13\pi}{6}\ (13 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{25\pi}{6}\ (25 > 24)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Левый конец \(\dfrac{5\pi}{2}\) оказался корнем и входит в отрезок. Выписываем корни по возрастанию: \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{17\pi}{6};\ \dfrac{7\pi}{2}\) — обратите внимание, что \(\dfrac{17\pi}{6}\) стоит между ними, хотя знаменатели разные. Удобно сравнивать всё в одних долях: \(15 < 17 < 21\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{17\pi}{6};\ \dfrac{7\pi}{2}\)

Пункт а. Раскрываем двойной угол и группируем

\[4\sin 2x = 8\sin x\cos x,\]

\[8\sin x\cos x - 4\sqrt{3}\sin x + 12\cos x - 6\sqrt{3} = 0.\]

Снова четыре слагаемых — делим на две пары. В первой выносим \(4\sin x\), во второй \(6\):

\[4\sin x\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) + 6\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) = 0.\]

Скобки совпали — выносим её:

\[\left(2\cos x - \sqrt{3}\right)\left(4\sin x + 6\right) = 0.\]

Важно! Если после группировки скобки не совпали — значит пары выбраны неудачно. Попробуйте переставить слагаемые: здесь, например, можно было соединить первое с третьим и второе с четвёртым. Перебор из двух-трёх вариантов всегда приводит к цели.

Разбираем скобки

Вторая скобка. \(4\sin x + 6 = 0\), то есть \(\sin x = -\dfrac{3}{2}\). Но \(|\sin x| \le 1\) — корней нет.

Первая скобка.

\[\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точка \(-4\pi\) — это правая точка окружности (там же, где \(0\) и \(2\pi\)), идём против часовой стрелки до \(-\dfrac{5\pi}{2}\) — низ окружности.

В шестых долях \(\pi\): \(-4\pi = -\dfrac{24\pi}{6}\), \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6}\).

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\quad k = -1 \to -\dfrac{11\pi}{6}\ (-11 > -15);\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{25\pi}{6}\ (-25 < -24),\quad k = -1 \to -\dfrac{13\pi}{6}\ (-13 > -15)\ —\ \text{мимо}.\]

Вторая серия обошла отрезок с двух сторон, не попав внутрь; её ближайшая точка — светлая на рисунке.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{23\pi}{6}\)

Пункт а. Формулы приведения и двойной угол

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x,\qquad \sin 2x = 2\sin x\cos x.\]

Ещё упростим корень: \(\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt{5}\). Подставляем всё и переносим в левую часть:

\[4\sin x\cos x - 2\sqrt{5}\sin x + 2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{15} = 0.\]

Группировка

Четыре слагаемых — значит пробуем разбить их на две пары. В первых двух общий множитель \(2\sin x\):

\[2\sin x\left(2\cos x - \sqrt{5}\right) + 2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{15} = 0.\]

Осталось показать, что вторая пара даёт ту же скобку. Заметим, что \(\sqrt{15} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\), поэтому

\[2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{15} = \sqrt{3}\left(2\cos x - \sqrt{5}\right).\]

Важно! Все «некрасивые» корни в условии (\(\sqrt{20}\), \(\sqrt{15}\)) существуют только ради этой группировки. Если видите в уравнении корни из не-табличных чисел — почти наверняка их надо разложить на множители и собрать общую скобку.

\[\left(2\cos x - \sqrt{5}\right)\left(2\sin x + \sqrt{3}\right) = 0.\]

Разбираем скобки

Первая скобка. \(2\cos x = \sqrt{5}\), то есть \(\cos x = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}12\). Но косинус не бывает больше единицы — корней нет.

Важно! Сравнение \(\dfrac{\sqrt{5}}{2} > 1\) обосновывается в одну строчку: \(\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2\). Записать это нужно обязательно — иначе отбрасывание скобки выглядит бездоказательным.

Вторая скобка.

\[\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\qquad x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем внизу окружности и идём против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{21\pi}{6}\), \(5\pi = \dfrac{30\pi}{6}\).

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-4 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{20\pi}{6}\ (20 < 21),\quad k = 3 \to \dfrac{32\pi}{6}\ (32 > 30)\ —\ \text{мимо}.\]

Вторая серия промахнулась на \(\dfrac{\pi}{6}\) — светлая точка на рисунке стоит вплотную к началу дуги, но снаружи.

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3}\)

Пункт а. Три упрощения подряд

Косинус — функция чётная:

\[\cos(-2x) = \cos 2x.\]

Дальше две формулы приведения:

\[\sin(x - \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x.\]

Вторую возводим в квадрат — минус исчезает:

\[\sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos^2 x.\]

Важно! Знак «минус» перед дробью и знак из формулы приведения дают в сумме плюс: \(-\dfrac{\sin(x-\pi)}{\sqrt{2}} = -\dfrac{-\sin x}{\sqrt{2}} = +\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}\). Двойной минус — классическое место, где теряют решение.

Уравнение принимает вид

\[\cos 2x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = \cos^2 x.\]

Сводим к синусу

Берём форму \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), а справа \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):

\[1 - 2\sin^2 x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = 1 - \sin^2 x.\]

Единицы сокращаются, переносим всё влево:

\[-2\sin^2 x + \sin^2 x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = 0,\qquad -\sin^2 x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = 0,\]

\[\sin x\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} - \sin x\right) = 0.\]

Два простейших уравнения

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\sin x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Синус положителен — значит обе точки лежат в верхней половине окружности: \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\). Записывать вторую серию как \(-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) нельзя: там синус отрицателен.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{11\pi}{2};\ -4\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем сверху окружности и идём против часовой стрелки до правой точки.

Переводим в четверти \(\pi\):

\[-\dfrac{11\pi}{2} = -\dfrac{22\pi}{4},\qquad -4\pi = -\dfrac{16\pi}{4}.\]

\[x = \pi k = \dfrac{4k\pi}{4}:\quad k = -5 \to -\dfrac{20\pi}{4} = -5\pi,\quad k = -4 \to -\dfrac{16\pi}{4} = -4\pi\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(3 + 8k)\pi}{4}:\quad k = -3 \to -\dfrac{21\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = -3 \to -\dfrac{23\pi}{4}\ (-23 < -22),\quad k = -2 \to -\dfrac{15\pi}{4}\ (-15 > -16)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Правый конец \(-4\pi\) — корень и входит в отрезок. Проверка: \(\sin(-4\pi) = 0\), левая часть \(\cos 8\pi - 0 = 1\), правая \(\cos^2(-4\pi) = 1\).

Ответ: а) \(\pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{21\pi}{4};\ -5\pi;\ -4\pi\)