Идея решения
Точку \(K\) находят стандартным приёмом: ищут след секущей плоскости. Прямые \(AN\) и \(DC\) лежат в одной плоскости (в плоскости основания) и не параллельны, значит они пересекаются в некоторой точке \(X\). Эта точка принадлежит и секущей плоскости, и плоскости грани \(SDC\) — а в этой грани уже есть точка \(M\). Прямая \(MX\) и даёт точку \(K\).
Во втором пункте пирамиду разрезают плоскостью \(SAC\) на два тетраэдра, в каждом из которых сечение отрезает «уголок». Для тетраэдров работает простая формула отношения объёмов.
Пункт а). Шаг 1. Находим точку X
Работаем в плоскости основания. Так как \(BC \parallel AD\) и \(BC \ne AD\), прямые \(AN\) и \(DC\) пересекаются; обозначим точку пересечения \(X\).
Посчитаем, где она находится. Треугольники \(XNC\) и \(XAD\) подобны (по двум углам: угол \(X\) общий, а \(NC \parallel AD\)). Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:
\[NC = \frac23\cdot BC = \frac23\cdot 3 = 2,\qquad \frac{XC}{XD} = \frac{NC}{AD} = \frac{2}{8} = \frac14.\]
Значит, \(XD = 4\,XC\), а так как \(XD = XC + CD\), получаем
\[CD = 3\,XC,\qquad\text{то есть}\qquad XC = \frac{CD}{3}.\]
Важно, что точка \(X\) лежит на продолжении отрезка \(DC\) за точку \(C\).
Важно! Секущая плоскость задана тремя точками \(A\), \(M\), \(N\), но искать сечение «на глаз» нельзя. Точка \(X\) — это точка, в которой след секущей плоскости в плоскости основания встречает прямую \(DC\). Именно она и «перебрасывает» нас из основания в боковую грань.
Шаг 2. Точка X принадлежит секущей плоскости
Точка \(X\) лежит на прямой \(AN\), а обе точки \(A\) и \(N\) принадлежат плоскости \(AMN\). Значит, вся прямая \(AN\) лежит в этой плоскости, а вместе с ней и точка \(X\).
С другой стороны, \(X\) лежит на прямой \(DC\), а эта прямая лежит в плоскости грани \(SDC\).
Итак, точки \(M\) и \(X\) принадлежат обеим плоскостям сразу. Поэтому прямая \(MX\) — это линия пересечения плоскости \(AMN\) с плоскостью \(SDC\), и точка
\[K = MX \cap SC\]
и есть искомая точка сечения на ребре \(SC\).
Шаг 3. Считаем отношение SK : KC
Удобно работать «векторами» в плоскости \(SDC\), взяв за опорные точки \(S\), \(D\), \(C\). Запишем наши точки как взвешенные суммы (коэффициенты в каждой строке дают в сумме единицу — это обычное правило деления отрезка):
\[M = \frac25 S + \frac35 D \quad \left(\text{так как } SM:MD = 3:2,\ \ SM = \tfrac35 SD\right),\]
\[X = -\frac13 D + \frac43 C \quad\left(\text{так как } \vec{DX} = \frac43\vec{DC} \right).\]
Точка \(K\) лежит на отрезке \(MX\), значит при некотором \(u\)
\[K = M + u\,(X - M).\]
Распишем коэффициенты при \(S\), \(D\), \(C\) по отдельности:
\[S:\ \ \frac25(1 - u),\qquad D:\ \ \frac35 - \frac{14}{15}u,\qquad C:\ \ \frac43 u.\]
Точка \(K\) лежит на прямой \(SC\), поэтому коэффициент при \(D\) обязан обратиться в ноль:
\[\frac35 - \frac{14}{15}u = 0\quad\Longrightarrow\quad u = \frac35\cdot\frac{15}{14} = \frac{9}{14}.\]
Подставляем:
\[S:\ \ \frac25\left(1 - \frac{9}{14}\right) = \frac25\cdot\frac{5}{14} = \frac17, \qquad C:\ \ \frac43\cdot\frac{9}{14} = \frac67.\]
Значит,
\[K = \frac17 S + \frac67 C,\]
то есть \(K\) делит отрезок \(SC\) так, что \(SK = \dfrac67 SC\), а \(KC = \dfrac17 SC\):
\[SK : KC = 6 : 1.\]
Пункт а) доказан.
Важно! Тот же результат можно получить теоремой Менелая для треугольника \(SDC\) и секущей \(M\!-\!K\!-\!X\): \(\dfrac{SM}{MD}\cdot\dfrac{DX}{XC}\cdot\dfrac{CK}{KS} = 1\), то есть \(\dfrac32\cdot\dfrac{4}{1}\cdot\dfrac{CK}{KS} = 1\), откуда \(\dfrac{CK}{KS} = \dfrac16\). Выбирайте тот способ, который вам привычнее.
Пункт б). Шаг 4. Что такое сечение и как резать пирамиду
Сечение — это четырёхугольник \(AMKN\): вершина \(A\) и точка \(N\) лежат в основании, \(M\) — на ребре \(SD\), \(K\) — на ребре \(SC\).
Ключевое наблюдение: точки \(A\) и \(K\) лежат в плоскости \(SAC\) (точка \(K\) — на ребре \(SC\)). Значит, диагональ \(AK\) четырёхугольника \(AMKN\) лежит в плоскости \(SAC\). Поэтому плоскость \(SAC\) разрезает и саму пирамиду, и её сечение:
\[SABCD = SABC \cup SACD,\qquad AMKN = \triangle AMK \cup \triangle AKN.\]
Теперь можно считать каждый кусок отдельно.
Шаг 5. Как делятся объёмы плоскостью SAC
Пирамиды \(SABC\) и \(SACD\) имеют общую вершину \(S\), а их основания — треугольники \(ABC\) и \(ACD\) — лежат в одной плоскости. Значит, высоты у них одинаковые, и объёмы относятся как площади оснований.
Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) имеют основания \(BC = 3\) и \(AD = 8\) на параллельных прямых, а высота между этими прямыми — высота трапеции \(h_{\text{тр}}\) — общая:
\[\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \frac{\tfrac12\cdot 3\cdot h_{\text{тр}}} {\tfrac12\cdot 8\cdot h_{\text{тр}}} = \frac38.\]
Пусть весь объём пирамиды равен \(11\) условных частей. Тогда
\[V_{SABC} = 3,\qquad V_{SACD} = 8.\]
Шаг 6. Уголок, отрезанный в тетраэдре SACD
В тетраэдре с вершинами \(S\), \(A\), \(D\), \(C\) сечение проходит через \(A\), \(M\in SD\), \(K\in SC\) и отрезает тетраэдр \(SAMK\).
Для тетраэдров с общим трёхгранным углом работает формула: объёмы относятся как произведения отношений соответствующих рёбер. Общая вершина здесь — \(S\), рёбра \(SA\) (не изменилось), \(SD \to SM\), \(SC \to SK\):
\[\frac{V_{SAMK}}{V_{SADC}} = \frac{SA}{SA}\cdot\frac{SM}{SD}\cdot\frac{SK}{SC} = 1\cdot\frac35\cdot\frac67 = \frac{18}{35}.\]
Значит,
\[V_{SAMK} = \frac{18}{35}\cdot 8 = \frac{144}{35}.\]
Этот кусок содержит вершину \(S\).
Шаг 7. Уголок, отрезанный в тетраэдре SABC
В тетраэдре с вершинами \(S\), \(A\), \(B\), \(C\) сечение проходит через \(A\), \(N\in BC\), \(K\in SC\) и отрезает тетраэдр \(ACNK\). Удобно взять общую вершину \(C\): ребро \(CA\) не изменилось, \(CB \to CN\), \(CS \to CK\):
\[\frac{V_{ACNK}}{V_{ACBS}} = \frac{CA}{CA}\cdot\frac{CN}{CB}\cdot\frac{CK}{CS} = 1\cdot\frac23\cdot\frac17 = \frac{2}{21}.\]
Значит,
\[V_{ACNK} = \frac{2}{21}\cdot 3 = \frac27.\]
Этот кусок вершину \(S\) не содержит: он прилегает к основанию.
Важно! Формула «произведение отношений рёбер» верна только для тетраэдра и только если все три ребра выходят из одной вершины. Поэтому в шаге 6 считаем от вершины \(S\), а в шаге 7 — от вершины \(C\): в каждом случае берём ту вершину, из которой выходят все три изменившихся ребра.
Шаг 8. Собираем части
Часть, содержащая вершину \(S\), состоит из двух кусков:
— из тетраэдра \(SACD\) в неё попал уголок \(SAMK\) объёма \(\dfrac{144}{35}\);
— из тетраэдра \(SABC\) в неё попало всё, кроме уголка \(ACNK\):
\[3 - \frac27 = \frac{21 - 2}{7} = \frac{19}{7}.\]
Складываем:
\[V_1 = \frac{144}{35} + \frac{19}{7} = \frac{144}{35} + \frac{95}{35} = \frac{239}{35}.\]
Вторая часть — это всё остальное. Весь объём равен \(11 = \dfrac{385}{35}\), поэтому
\[V_2 = \frac{385}{35} - \frac{239}{35} = \frac{146}{35}.\]
Шаг 9. Ответ
\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{239}{146}.\]
То есть плоскость \(AMN\) делит пирамиду на части, объёмы которых относятся как \(239 : 146\) (большая часть содержит вершину \(S\)).
Важно! В ответе на такие задачи всегда пишите, какая часть имеется в виду, либо давайте отношение в обе стороны. Формально подходят оба варианта: \(239 : 146\) и \(146 : 239\).
Ответ по пунктам
а) доказано; б) \(239 : 146\).
Ответ: б) \(239 : 146\)
