№15. Стереометрическая задача

Пункт а, шаг 1. Разбираемся с основанием

Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной окружности, причём \(AC\) — диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

\[\angle ABC = 90^\circ.\]

Значит треугольник \(ABC\) прямоугольный, а угол при вершине \(C\) равен \(45^\circ\) — такой треугольник равнобедренный:

\[BC = AB = 2\sqrt3,\qquad AC = AB\sqrt2 = 2\sqrt3\cdot\sqrt2 = 2\sqrt6.\]

Пункт а, шаг 2. Переносим прямую BC к точке A

Прямые \(AC_1\) и \(BC\) скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми ищут так: одну из них параллельно переносят к точке, лежащей на другой.

Пусть \(D\) — точка окружности, диаметрально противоположная \(B\). Тогда у четырёхугольника \(ABCD\) обе диагонали \(AC\) и \(BD\) — диаметры: они равны и точкой пересечения делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и делятся пополам, — прямоугольник. Значит

\[AD \parallel BC,\qquad AD = BC.\]

Остаётся найти угол \(C_1AD\).

Важно! Вписанный прямоугольник \(ABCD\) — не случайная выдумка, а стандартный приём: если в условии есть диаметр и точка окружности, почти всегда полезно достроить диаметрально противоположную точку.

Пункт а, шаг 3. Треугольник ADC₁ прямоугольный

Угол при вершине \(D\) прямой:

\(AD \perp DC\) — угол прямоугольника \(ABCD\);
\(AD \perp CC_1\) — образующая перпендикулярна плоскости основания, а \(AD\) лежит
в этой плоскости.

\[AD \perp (DCC_1)\ \Longrightarrow\ AD \perp DC_1.\]

Длина \(AC_1\) считается из прямоугольного треугольника \(ACC_1\):

\[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{24 + 24} = \sqrt{48} = 4\sqrt3.\]

В прямоугольном треугольнике \(ADC_1\):

\[\cos\angle DAC_1 = \dfrac{AD}{AC_1} = \dfrac{2\sqrt3}{4\sqrt3} = \dfrac12 \ \Longrightarrow\ \angle DAC_1 = 60^\circ.\]

Пункт б. Треугольник ABC₁ — прямоугольный

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим из \(B\) перпендикуляр \(BH\) на прямую \(AC_1\) и будем искать \(BH\).

Сначала докажем, что треугольник \(ABC_1\) прямоугольный:

\(AB \perp BC\) — это доказанный в пункте а) прямой угол \(ABC\);
\(AB \perp CC_1\) — образующая перпендикулярна плоскости основания.

Прямые \(BC\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(C\) и задают плоскость \((BCC_1)\), поэтому

\[AB \perp (BCC_1)\ \Longrightarrow\ AB \perp BC_1.\]

Находим второй катет (треугольник \(BCC_1\) прямоугольный, так как \(CC_1 \perp BC\)):

\[BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{12 + 24} = \sqrt{36} = 6.\]

Проверим себя: \(AB^2 + BC_1^2 = 12 + 36 = 48\), и \(AC_1^2 = (4\sqrt3)^2 = 48\) — сходится, гипотенуза \(AC_1\) на месте.

Высота к гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника \(ABC_1\) можно посчитать двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой:

\[\dfrac12\,AB\cdot BC_1 = \dfrac12\,AC_1\cdot BH.\]

\[BH = \dfrac{AB\cdot BC_1}{AC_1} = \dfrac{2\sqrt3\cdot 6}{4\sqrt3} = \dfrac{12\sqrt3}{4\sqrt3} = 3.\]

Важно! Формула «высота к гипотенузе = произведение катетов, делённое на гипотенузу» — следствие двух записей площади. Её стоит знать наизусть: в №14 она встречается постоянно.

Ответ: \(3\)

Пункт а, шаг 1. A₁C₁ — диаметр верхнего основания

Отметим точку \(A_1\) верхнего основания, лежащую над \(A\) (то есть \(AA_1\) — образующая).

Отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра, значит прямая \(AC_1\) и ось лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\). Эта плоскость содержит ось, а ось перпендикулярна основаниям, поэтому \(\beta\) пересекает каждое основание по прямой, проходящей через его центр, то есть по диаметру.

Прямая \(AA_1\) параллельна оси (обе перпендикулярны основаниям) и проходит через точку \(A \in \beta\), значит \(AA_1\) целиком лежит в \(\beta\), и потому \(A_1 \in \beta\).

Итак, точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат в плоскости \(\beta\) и на окружности верхнего основания, а \(\beta\) пересекает это основание по диаметру. Значит

\[A_1C_1 \text{ — диаметр верхнего основания.}\]

Важно! Фраза «отрезок пересекает ось» — это и есть ключ ко всей задаче. Из неё следует, что \(A\) и \(C_1\) лежат «по разные стороны» цилиндра, и над \(A\) получается конец диаметра.

Пункт а, шаг 2. Цепочка перпендикулярностей

Точка \(B_1\) лежит на окружности верхнего основания, а \(A_1C_1\) — его диаметр, поэтому вписанный угол прямой:

\[\angle A_1B_1C_1 = 90^\circ,\qquad\text{то есть}\qquad B_1C_1 \perp A_1B_1.\]

Кроме того, \(BB_1\) — образующая, она перпендикулярна плоскости верхнего основания, а \(B_1C_1\) лежит в этой плоскости, поэтому \(B_1C_1 \perp BB_1\).

Прямая \(B_1C_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(A_1B_1\) и \(BB_1\) плоскости \((ABB_1A_1)\), значит

\[B_1C_1 \perp (ABB_1A_1)\ \Longrightarrow\ B_1C_1 \perp AB.\]

Теперь повторим приём ещё раз. Мы знаем, что

\(AB \perp B_1C_1\) — только что доказано;
\(AB \perp BB_1\) — образующая перпендикулярна плоскости нижнего основания, а
\(AB\) лежит в ней.

Прямые \(B_1C_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(B_1\) и задают плоскость \((BB_1C_1)\), поэтому

\[AB \perp (BB_1C_1)\ \Longrightarrow\ AB \perp BC_1,\]

то есть угол \(ABC_1\) прямой.

Важно! Признак перпендикулярности прямой и плоскости здесь применён дважды подряд: сначала чтобы «спустить» перпендикулярность с \(A_1B_1\) на \(AB\), потом чтобы «перевести» её с \(B_1C_1\) на \(BC_1\). Это типовая связка для задач про цилиндр.

Пункт б. Радиус и площадь

Четырёхугольник \(ABB_1A_1\) — прямоугольник: \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие, они параллельны, равны и перпендикулярны основаниям. Значит

\[A_1B_1 = AB = 20.\]

В прямоугольном треугольнике \(A_1B_1C_1\) (прямой угол при \(B_1\)):

\[A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29.\]

Это диаметр, поэтому \(R = \dfrac{29}{2} = 14{,}5\). Высота цилиндра равна образующей: \(H = BB_1 = 15\). Остаётся формула боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi R H = 2\pi\cdot 14{,}5\cdot 15 = 435\pi.\]

Важно! Тройка \(20,\ 21,\ 29\) — пифагорова. Полезно держать в голове набор: \(3{-}4{-}5\), \(5{-}12{-}13\), \(8{-}15{-}17\), \(7{-}24{-}25\), \(20{-}21{-}29\). На экзамене это экономит минуту и спасает от арифметической ошибки.

Ответ: \(435\pi\)

Пункт а, шаг 1. Разбираемся с основанием

Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной окружности, причём \(AC\) — диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

\[\angle ABC = 90^\circ.\]

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AB = 1\) лежит против угла \(30^\circ\), а против угла \(30^\circ\) лежит катет, вдвое меньший гипотенузы:

\[AC = 2\,AB = 2,\qquad BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt3.\]

Заодно получили радиус основания: \(R = \dfrac{AC}{2} = 1\).

Пункт а, шаг 2. Переносим прямую BC к точке A

Прямые \(AC_1\) и \(BC\) скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми ищут так: одну из них параллельно переносят к точке, лежащей на другой.

Пусть \(D\) — точка окружности, диаметрально противоположная \(B\). Тогда у четырёхугольника \(ABCD\) обе диагонали \(AC\) и \(BD\) — диаметры: они равны и точкой пересечения делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и делятся пополам, — прямоугольник. Значит

\[AD \parallel BC,\qquad AD = BC.\]

Остаётся найти угол \(C_1AD\).

Важно! Вписанный прямоугольник \(ABCD\) — не случайная выдумка, а стандартный приём: если в условии есть диаметр и точка окружности, почти всегда полезно достроить диаметрально противоположную точку.

Пункт а, шаг 3. Треугольник ADC₁ прямоугольный

Разберёмся с углом при вершине \(D\):

\(AD \perp DC\) — это угол прямоугольника \(ABCD\);
\(AD \perp CC_1\) — образующая \(CC_1\) перпендикулярна плоскости основания, а
\(AD\) лежит в этой плоскости.

Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(DC\) и \(CC_1\) плоскости \((DCC_1)\), значит

\[AD \perp (DCC_1)\ \Longrightarrow\ AD \perp DC_1.\]

Теперь найдём \(AC_1\). Образующая \(CC_1\) перпендикулярна основанию, поэтому треугольник \(ACC_1\) прямоугольный:

\[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt3.\]

В прямоугольном треугольнике \(ADC_1\) (прямой угол при \(D\)):

\[\cos\angle DAC_1 = \dfrac{AD}{AC_1} = \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt3} = \dfrac12 \ \Longrightarrow\ \angle DAC_1 = 60^\circ.\]

Важно! Угол между прямыми по определению не превосходит \(90^\circ\). Если бы косинус получился отрицательным, нужно было бы взять смежный угол — а \(\frac12 > 0\), значит \(60^\circ\) и есть ответ.

Пункт б. Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность цилиндра — это прямоугольник со сторонами \(2\pi R\) (длина окружности основания) и \(H\) (высота):

\[S_{\text{бок}} = 2\pi R H.\]

Высота цилиндра равна образующей: \(H = CC_1 = 2\sqrt2\). Радиус мы уже нашли: \(R = 1\). Значит

\[S_{\text{бок}} = 2\pi\cdot 1\cdot 2\sqrt2 = 4\sqrt2\,\pi.\]

Важно! Самая обидная ошибка здесь — подставить в формулу диаметр вместо радиуса. В условии дан диаметр \(AC = 2\), а в формулу идёт \(R = 1\).

Ответ: \(4\sqrt2\,\pi\)

Пункт а. Раскладываем условие по рёбрам

Все боковые рёбра равны \(16\). Делим их в указанных отношениях:

\[A_1E = 16\cdot\dfrac{5}{5+3} = 10,\qquad EA = 6;\]

\[B_1F = 16\cdot\dfrac{5}{5+11} = 5,\qquad FB = 11.\]

Кроме того \(B_1C_1 = BC = AD = 10\), и так как \(T\) — середина, \(B_1T = 5\).

Главная идея: параллельные грани

Посмотрим на грань \(BB_1C_1C\) — это прямоугольник. В нём \(B_1F = B_1T = 5\), а угол при вершине \(B_1\) прямой. Значит треугольник \(FB_1T\) — прямоугольный равнобедренный, и прямая \(FT\) наклонена под углом \(45^\circ\): по пути от \(F\) к \(T\) она смещается в сторону ребра \(CC_1\) на \(5\) и на столько же — на \(5\) — поднимается вверх.

Грани \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\) параллельны. Плоскость \(EFT\) пересекает вторую из них по прямой \(FT\), а значит первую она пересекает по прямой, параллельной \(FT\) и проходящей через точку \(E\).

Проведём в грани \(AA_1D_1D\) через точку \(E\) прямую под тем же углом \(45^\circ\) — в сторону ребра \(DD_1\). Пройдя по горизонтали расстояние \(AD = 10\), она поднимется тоже на \(10\), то есть окажется на высоте

\[AE + 10 = 6 + 10 = 16 = AA_1.\]

Высота \(16\) над точкой \(D\) — это ровно вершина \(D_1\). Значит прямая попадает в \(D_1\), и точка \(D_1\) лежит в плоскости \(EFT\).

Важно! Приём «параллельные грани — параллельные следы» закрывает почти любое сечение призмы. Главное не перепутать, какие грани параллельны: здесь это \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\), а вовсе не \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\), хотя те тоже параллельны между собой.

Пункт б. Сечение — равнобедренная трапеция

Сечение — четырёхугольник \(EFTD_1\). Его стороны \(FT\) и \(ED_1\) лежат в параллельных гранях, значит \(FT \parallel ED_1\), и это трапеция.

Основания. \(FT\) — гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами \(5\):

\[FT = 5\sqrt2.\]

\(ED_1\) считаем в грани \(AA_1D_1D\): опустим из \(D_1\) перпендикуляр \(D_1G\) на ребро \(AA_1\). Тогда \(D_1G = AD = 10\), а \(G\) — точка на высоте \(16\), поэтому \(EG = 16 - 6 = 10\):

\[ED_1 = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt2.\]

Боковые стороны. Сторона \(EF\) лежит в грани \(ABB_1A_1\). Точки \(E\) и \(F\) находятся на высотах \(6\) и \(11\), расстояние между рёбрами \(AA_1\) и \(BB_1\) равно \(AB = 6\sqrt2\):

\[EF = \sqrt{AB^2 + (11-6)^2} = \sqrt{72 + 25} = \sqrt{97}.\]

Сторона \(TD_1\) лежит в верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\). В прямоугольнике \(A_1B_1C_1D_1\): \(D_1C_1 = A_1B_1 = 6\sqrt2\), \(C_1T = \frac12 B_1C_1 = 5\), угол при вершине \(C_1\) прямой:

\[TD_1 = \sqrt{(6\sqrt2)^2 + 5^2} = \sqrt{72 + 25} = \sqrt{97}.\]

Боковые стороны равны — трапеция равнобедренная.

Высота трапеции и площадь

У равнобедренной трапеции с основаниями \(a = 5\sqrt2\) и \(b = 10\sqrt2\) высота, опущенная из конца меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок

\[\dfrac{b-a}{2} = \dfrac{10\sqrt2 - 5\sqrt2}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.\]

По теореме Пифагора

\[h = \sqrt{97 - \left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{97 - \dfrac{50}{4}} = \sqrt{\dfrac{169}{2}} = \dfrac{13}{\sqrt2} = \dfrac{13\sqrt2}{2}.\]

Площадь трапеции:

\[S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h = \dfrac{5\sqrt2 + 10\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{13\sqrt2}{2} = \dfrac{15\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{13\sqrt2}{2} = \dfrac{15\cdot 13\cdot 2}{4} = 97{,}5.\]

Важно! Все пять длин (\(FT\), \(ED_1\), \(EF\), \(TD_1\), \(h\)) мы считали внутри граней, то есть в настоящих прямоугольниках. По объёмному чертежу длины мерить нельзя — там всё искажено.

Ответ: \(97{,}5\)

Пункт а. Почему сечение — треугольник

Соединим три данные точки. Отрезок \(A_1B\) лежит в грани \(ABB_1A_1\), отрезок \(BM\) — в грани \(BCC_1B_1\), отрезок \(MA_1\) — в грани \(ACC_1A_1\). Все три отрезка целиком лежат на поверхности призмы, значит сечение — именно треугольник \(A_1BM\).

Теперь докажем, что он равнобедренный. Сравним два прямоугольных треугольника: \(BCM\) и \(A_1C_1M\).

Призма правильная, поэтому боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp C_1A_1\) — оба треугольника прямоугольные:

\(CM = MC_1\), так как \(M\) — середина ребра \(CC_1\);
\(CB = C_1A_1\), так как оба равны стороне основания (основания — равные правильные
треугольники).

Треугольники равны по двум катетам, значит равны и гипотенузы:

\[BM = A_1M.\]

Треугольник \(A_1BM\) равнобедренный с основанием \(A_1B\).

Важно! Опора всего доказательства — перпендикулярность бокового ребра основанию. Именно она даёт прямые углы при вершинах \(C\) и \(C_1\). В наклонной призме это рассуждение не сработало бы.

Пункт б. Высота треугольника-сечения

Пусть \(K\) — середина \(A_1B\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому

\[MK \perp A_1B,\qquad S_{A_1BM} = \dfrac12\,A_1B\cdot MK.\]

Главный трюк — найти \(MK\). Обозначим высоту призмы \(h = AA_1\) и отметим середину \(P\) ребра \(AB\), а также середину \(P_1\) ребра \(A_1B_1\).

Точка \(M\) — середина \(CC_1\), значит она находится на высоте \(\frac h2\) над точкой \(C\).

Точка \(K\) — середина отрезка \(A_1B\). Конец \(A_1\) находится на высоте \(h\) (над точкой \(A\)), конец \(B\) — на высоте \(0\). Значит середина \(K\) находится на высоте \(\frac h2\), причём ровно над серединой отрезка \(AB\), то есть над точкой \(P\).

Обе точки \(M\) и \(K\) лежат на одной высоте \(\frac h2\), поэтому отрезок \(MK\) параллелен плоскости основания, а его длина равна длине отрезка \(PC\):

\[MK = PC.\]

Важно! Это и есть ключ к задаче: длина \(MK\) вообще не зависит от высоты призмы. Если пытаться искать \(MK\) «в лоб» через теорему косинусов в треугольнике \(A_1BM\), вычисления разрастаются втрое.

Отрезок \(PC\) — медиана (и высота) правильного треугольника \(ABC\) со стороной \(2\):

\[MK = PC = 2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \sqrt3.\]

Находим высоту призмы

Подставляем в площадь:

\[6 = \dfrac12\,A_1B\cdot\sqrt3\ \Longrightarrow\ A_1B = \dfrac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3.\]

Отрезок \(A_1B\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(A_1AB\), в котором \(AA_1 \perp AB\):

\[A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2,\qquad 48 = h^2 + 4,\qquad h^2 = 44.\]

\[h = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}.\]

Важно! Проверка «на здравый смысл»: \(2\sqrt{11}\approx 6{,}6\) — призма получается высокой и узкой (сторона основания всего \(2\)). Это нормально: площадь сечения \(6\) при такой узкой подошве и вправду требует большой высоты.

Ответ: \(2\sqrt{11}\)

Пункт а. Где плоскость пересекает верхнее основание

Обозначим \(AA_1 = m\). Тогда \(AB = 3m\), \(AD = 2m\). Ребро \(CD\) равно \(AB\), то есть \(CD = 3m\), а по условию \(CN = 2ND\), значит

\[CN = 2m,\qquad ND = m.\]

Точки \(A\) и \(N\) лежат в плоскости нижнего основания, поэтому прямая \(AN\) — это линия пересечения плоскости \(\alpha\) с плоскостью \(ABCD\).

Плоскости оснований \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) параллельны. Плоскость \(\alpha\) пересекает обе, а две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым. Значит верхнее основание плоскость \(\alpha\) пересекает по прямой, которая проходит через \(C_1\) параллельно \(AN\). Пусть эта прямая пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(P\).

Важно! «Две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым» — главный инструмент построения сечений призм и параллелепипедов. Если забыть про него, то приходится мучительно искать точку \(P\) наугад.

Считаем отношение в нижнем основании

Верхнее основание — точная копия нижнего, сдвинутая вверх на \(AA_1\). Поэтому достаточно разобраться с картинкой внизу: проведём через точку \(C\) прямую, параллельную \(AN\), и пусть она пересечёт \(AB\) в точке \(P_0\). Тогда \(P\) лежит ровно над \(P_0\).

В четырёхугольнике \(ANCP_0\):

\(AN \parallel P_0C\) — по построению;
\(AP_0 \parallel NC\) — потому что \(AP_0\) лежит на прямой \(AB\), \(NC\) лежит на
прямой \(DC\), а \(AB \parallel DC\).

Значит \(ANCP_0\) — параллелограмм, и противоположные стороны у него равны:

\[AP_0 = NC = 2m.\]

Тогда \(P_0B = AB - AP_0 = 3m - 2m = m\), и

\[A_1P : PB_1 = AP_0 : P_0B = 2m : m = 2 : 1.\]

Пункт б. Сечение — ромб

При \(AA_1 = 1\) получаем \(AB = 3\), \(AD = 2\), \(CN = 2\), \(ND = 1\), \(A_1P = 2\), \(PB_1 = 1\).

Сечение — четырёхугольник \(ANC_1P\). Его стороны \(AN\) и \(PC_1\) параллельны (это те самые параллельные следы в двух основаниях) и равны (\(PC_1 = P_0C = AN\) как противоположные стороны параллелограмма \(ANCP_0\)), значит \(ANC_1P\) — параллелограмм.

Теперь длины. В треугольнике \(ADN\) угол \(D\) прямой (углы прямоугольника):

\[AN = \sqrt{AD^2 + DN^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5.\]

В треугольнике \(AA_1P\) угол \(A_1\) прямой (боковое ребро перпендикулярно основанию):

\[AP = \sqrt{AA_1^2 + A_1P^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5.\]

У параллелограмма две соседние стороны оказались равны — значит это ромб.

Важно! Как только сечение опознано как ромб, площадь считается через диагонали: \(S = \frac12 d_1 d_2\). Это намного быстрее, чем искать угол между сторонами и синус.

Диагонали ромба

Первая диагональ — пространственная диагональ параллелепипеда:

\[AC_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.\]

Вторая диагональ — отрезок \(NP\). Опустим \(P\) на нижнее основание, получим точку \(P_0\) (при этом \(PP_0 = AA_1 = 1\), а \(AP_0 = 2\)). Сначала найдём \(NP_0\) в основании: опустим из \(N\) перпендикуляр \(NH\) на \(AB\). Тогда \(AH = DN = 1\), \(NH = AD = 2\), и значит \(HP_0 = AP_0 - AH = 2 - 1 = 1\):

\[NP_0 = \sqrt{NH^2 + HP_0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5.\]

Отрезок \(PP_0\) перпендикулярен основанию, поэтому

\[NP = \sqrt{NP_0^2 + PP_0^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt6.\]

Остаётся площадь:

\[S = \dfrac12\,AC_1\cdot NP = \dfrac12\cdot\sqrt{14}\cdot\sqrt6 = \dfrac12\,\sqrt{84} = \dfrac12\cdot 2\sqrt{21} = \sqrt{21}.\]

Важно! Формула \(S = \frac12 d_1 d_2\) работает только для ромба (и вообще для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями). Для обычного параллелограмма она неверна — сначала обязательно убедитесь, что стороны равны.

Ответ: \(\sqrt{21}\)