№15. Стереометрическая задача

На ребре \(SD\) правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) отмечена точка \(M\), причём \(SM : MD = 3 : 2\). Точки \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\) соответственно.

1. Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \(MPQ\) является равнобедренной трапецией.
2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \(MPQ\) разбивает пирамиду.

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 8, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM = 2\), \(SK = 1\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и содержит точки \(M\) и \(K\).

1. Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку \(C\).
2. Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\).

На рёбрах \(AC\), \(AD\), \(BD\) и \(BC\) тетраэдра \(ABCD\) отмечены точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(AK : KC = 2 : 3\). Четырёхугольник \(KLMN\) — квадрат со стороной 2.

1. Докажите, что прямые \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны.
2. Найдите расстояние от вершины \(B\) до плоскости \(KLM\), если объём тетраэдра \(ABCD\) равен 25.

В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно \(\sqrt{21}\). На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM = 4\), \(SK : KB = 1 : 3\).

1. Докажите, что плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
2. Найдите объём пирамиды \(BCKM\).

В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT : TD = 2 : 1\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.

1. Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
2. Найдите площадь сечения.

В правильном тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(MN\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\).

1. Докажите, что прямая \(MN\) перпендикулярна рёбрам \(AB\) и \(CD\).
2. Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(BK = 1\), \(KC = 3\).