№15. Стереометрическая задача

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 5\) и \(BC = 3\). Точка \(M\) делит ребро \(A_1D_1\) в отношении \(A_1M : MD_1 = 2 : 3\), а точка \(K\) — середина ребра \(DD_1\).

1. Докажите, что плоскость \(MKC\) параллельна прямой \(BD\).
2. Найдите тангенс угла между плоскостью \(MKC\) и плоскостью основания призмы, если \(\angle MKC = 90°\), \(\angle ADC = 60°\).

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\) с углом \(60°\) при вершине \(A\). На рёбрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно так, что четырёхугольник \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.

1. Докажите, что точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\).
2. Найдите высоту призмы, если её объём равен 16 и известно, что точка \(K\) делит ребро \(B_1C_1\) в отношении \(B_1K : KC_1 = 1 : 3\).

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный (\(AB = BC\)) треугольник \(ABC\). Точка \(K\) — середина ребра \(A_1B_1\), а точка \(M\) делит ребро \(AC\) в отношении \(AM : MC = 1 : 3\).

1. Докажите, что \(KM \perp AC\).
2. Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB = 6\), \(AC = 8\) и \(AA_1 = 3\).

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания \(AB\) равна 8, а боковое ребро \(AA_1\) равно 7. На ребре \(CC_1\) отмечена точка \(M\), причём \(CM = 1\).

1. Точки \(O\) и \(O_1\) — центры окружностей, описанных около треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) соответственно. Докажите, что прямая \(OO_1\) содержит точку пересечения медиан треугольника \(ABM\).
2. Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(ABM\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) через середину \(M\) диагонали \(AC_1\) проведена плоскость \(\alpha\) перпендикулярно этой диагонали, \(AB = 5\), \(BC = 3\), \(AA_1 = 4\).

1. Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку \(D_1\).
2. Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(A_1B_1\), считая от вершины \(B_1\).

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB = 6\sqrt{2}\), \(AD = 10\), \(AA_1 = 16\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E : EA = 5 : 3\) и \(B_1F : FB = 5 : 11\). Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\).

1. Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).
2. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).