№15. Стереометрическая задача

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно, причём \(B_1K : KC_1 = 1 : 2\). Четырёхугольник \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

1. Докажите, что точка \(N\) — середина ребра \(BC\).
2. Найдите площадь трапеции \(AMKN\), если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

В основании прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AB\). Точка \(P\) делит ребро \(AB\) в отношении \(AP : PB = 3 : 1\), а точка \(Q\) — середина ребра \(B_1C_1\). Через середину \(M\) ребра \(BC\) провели плоскость \(\alpha\), перпендикулярно отрезку \(PQ\).

1. Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна ребру \(AB\).
2. Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит отрезок \(PQ\), считая от точки \(P\), если известно, что \(AA_1 = 5\), \(AB = 12\), \(\cos\angle ABC = \dfrac{3}{5}\).

Дана правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(B_1\) и \(D\) и пересекает рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Известно, что четырёхугольник \(MB_1KD\) — ромб.

1. Докажите, что точка \(M\) — середина ребра \(AA_1\).
2. Найдите высоту призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если площадь её основания \(ABCD\) равна 3, а площадь ромба \(MB_1KD\) равна 6.

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.

1. Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.
2. Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1 = 10\), \(AB = 12\).

На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 1 : 2\), на ребре \(BB_1\) — точка \(F\) так, что \(B_1F : FB = 1 : 5\), а точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\). Известно, что \(AB = 2\), \(AD = 6\), \(AA_1 = 6\).

1. Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через вершину \(D_1\).
2. Найдите угол между плоскостью \(EFT\) и плоскостью \(AA_1B_1\).

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\) соответственно.

1. Докажите, что прямые \(B_1N\) и \(CM\) перпендикулярны.
2. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(N\) и \(B_1\) параллельно прямой \(CM\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(B_1N = 6\).