№15. Стереометрическая задача

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1\), причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.

1. Докажите, что угол \(ABC_1\) прямой.
2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \(AB = 20\), \(BB_1 = 15\), \(B_1C_1 = 21\).

В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) сторона основания \(AB\) равна 5, а боковое ребро \(SA\) равно 9. Точка \(M\) лежит на ребре \(AB\), \(AM = 1\), а точка \(K\) лежит на ребре \(SC\). Известно, что \(MK = KD\).

1. Докажите, что плоскость \(DKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
2. Найдите площадь треугольника \(DKM\).

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\) с большим основанием \(AD\). Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно прямой \(SO\).

1. Докажите, что сечение пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\) является трапецией.
2. Найдите площадь сечения пирамиды \(SABCD\) плоскостью \(\alpha\), если \(AD = 12\), \(BC = 10\), \(SO = 9\), а прямая \(SO\) перпендикулярна прямой \(AD\).

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), равными 8 и 3 соответственно. Точки \(M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(SD\) и \(BC\) соответственно, причём \(SM : MD = 3 : 2\), \(BN : NC = 1 : 2\). Плоскость \(AMN\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(K\).

1. Докажите, что \(SK : KC = 6 : 1\).
2. Плоскость \(AMN\) делит пирамиду \(SABCD\) на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со стороной \(AB = 5\) и диагональю \(BD = 9\). Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали \(BD\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\), а на ребре \(AS\) — точка \(F\) так, что \(SF = BE = 4\).

1. Докажите, что плоскость \(CEF\) параллельна ребру \(SB\).
2. Плоскость \(CEF\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\). Найдите расстояние от точки \(Q\) до плоскости \(ABC\).

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) точка \(O\) — центр основания пирамиды, точка \(M\) — середина ребра \(SC\), точка \(K\) делит ребро \(BC\) в отношении \(BK : KC = 3 : 2\), а \(AB = 4\) и \(SO = 2\sqrt{23}\).

1. Докажите, что плоскость \(OMK\) параллельна прямой \(SA\).
2. Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(OMK\) пересекает грань \(SAD\).