№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Куб — возрастающая функция, поэтому кубический корень из 64 извлекается
однозначно:
\[x-5=\sqrt[3]{64}=4.\]
Шаг 2. Отсюда
\[x=5+4=9.\]

Шаг 1. Правая часть положительна, поэтому возведение в квадрат равносильно: подкоренное
выражение после него окажется равным \(16>0\).
Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:
\[9x-47=4^{2}=16.\]
Шаг 3. Решаем:
\[9x=63,\qquad x=7.\]

Шаг 1. Запишем основание левой части как степень тройки:
\[\left(\frac13\right)^{3-x}=\left(3^{-1}\right)^{3-x}=3^{-(3-x)}=3^{\,x-3}.\]
Шаг 2. Правая часть: \(81=3^{4}\). Уравнение принимает вид
\[3^{\,x-3}=3^{4}.\]
Шаг 3. Основания одинаковы, функция \(y=3^{t}\) монотонна, поэтому приравниваем
показатели:
\[x-3=4.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=7.\]

Шаг 1. Правая часть — степень четвёрки: \(64=4^{3}\), поэтому
\[\frac{1}{64}=\frac{1}{4^{3}}=4^{-3}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[4^{\,x-7}=4^{-3}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[x-7=-3.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=4.\]

Шаг 1. Правая часть отлична от нуля, значит знаменатель заведомо не обращается в нуль, и
дробь можно «перевернуть»: из \(\dfrac1A=5\) следует \(A=\dfrac15\).
Шаг 2. Получаем
\[3x-4=\frac15=0{,}2.\]
Шаг 3. Решаем линейное уравнение:
\[3x=4{,}2,\qquad x=1{,}4.\]

Шаг 1. Представим правую часть как степень шестёрки:
\[36=6^{2}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[6^{\,x-5}=6^{2}.\]
Шаг 3. Показательная функция \(y=6^{t}\) возрастает, поэтому равенство степеней с
одинаковым основанием равносильно равенству показателей:
\[x-5=2.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=7.\]