№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. Куб — возрастающая функция, поэтому кубический корень извлекается однозначно:
\[x+4=\sqrt[3]{-125}=-5.\]
Шаг 2. Отсюда
\[x=-5-4=-9.\]

Шаг 1. Кубический корень определён при любом значении подкоренного выражения, и функция
\(y=\sqrt[3]{t}\) возрастает. Поэтому возведение обеих частей в куб равносильно исходному
уравнению — никаких ограничений и проверок не возникает.
Шаг 2. Возводим в куб:
\[x+3=3^{3}=27.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=27-3=24.\]

Шаг 1. Приведём левую часть к основанию 6, учитывая \(\dfrac16=6^{-1}\):
\[\left(\frac16\right)^{x-2}=\left(6^{-1}\right)^{x-2}=6^{\,2-x}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[6^{\,2-x}=6^{\,x}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[2-x=x.\]
Шаг 4. Отсюда
\[2x=2,\qquad x=1.\]

Шаг 1. Приведём обе части к основанию 7, учитывая \(\dfrac17=7^{-1}\) и \(49=7^{2}\):
\[\left(\frac17\right)^{x+4}=\left(7^{-1}\right)^{x+4}=7^{\,-x-4}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[7^{\,-x-4}=7^{2}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[-x-4=2.\]
Шаг 4. Отсюда
\[-x=6,\qquad x=-6.\]

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом в левой части должно стоять положительное число,
\[8-x>0,\qquad x<8.\]
Шаг 2. Функция \(y=\log_{5}t\) возрастает, поэтому равные логарифмы с одинаковым основанием
имеют равные аргументы:
\[8-x=2.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=6.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(6<8\) — корень подходит.

Шаг 1. Представим правую часть как степень двойки:
\[16=2^{4}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[2^{\,-4-x}=2^{4}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[-4-x=4.\]
Шаг 4. Отсюда
\[-x=8,\qquad x=-8.\]