№7. Простейшие уравнения

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом положительное число,
\[4-x>0,\qquad x<4.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[4-x=2^{7}=128.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=4-128=-124.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(-124<4\) — корень подходит.

Шаг 1. ОДЗ: выражение под логарифмом положительно,
\[4-x>0,\qquad x<4.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[4-x=7^{2}=49.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=4-49=-45.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(-45<4\) — корень подходит.

Шаг 1. ОДЗ: под логарифмом должно стоять положительное число,
\[80-x>0,\qquad x<80.\]
Шаг 2. По определению логарифма
\[80-x=4^{3}=64.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=80-64=16.\]
Шаг 4. Проверка ОДЗ: \(16<80\) — корень подходит.

Шаг 1. Правая часть — степень двойки: \(64=2^{6}\), поэтому
\[\frac{1}{64}=\frac{1}{2^{6}}=2^{-6}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[2^{\,x-11}=2^{-6}.\]
Шаг 3. Приравниваем показатели:
\[x-11=-6.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=5.\]

Шаг 1. Функция \(y=t^{3}\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое значение
она принимает ровно один раз: из \(t^{3}=64\) следует единственное \(t=\sqrt[3]{64}=4\).
Шаг 2. Здесь \(t=x-13\), значит
\[x-13=4.\]
Шаг 3. Отсюда
\[x=13+4=17.\]

Шаг 1. Обозначаем события

\(A\) — жвачка закончится в первом автомате, \(B\) — во втором:

\[P(A) = P(B) = 0{,}4,\qquad P(A\cap B) = 0{,}2.\]

Шаг 2. Находим объединение

\[P(A\cup B) = 0{,}4 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}6.\]

Шаг 3. Переходим к противоположному событию

«Жвачка останется в обоих» означает, что не произошло ни \(A\), ни \(B\):

\[P = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.\]