№9. Производная и первообразная

Шаг 1. Правая часть отлична от нуля, поэтому знаменатель заведомо не равен нулю, и дробь
можно «перевернуть»: из \(\dfrac{6}{A}=1\) следует \(A=6\).
Шаг 2. Получаем
\[x^{2}-19=6,\qquad x^{2}=25.\]
Шаг 3. Отсюда два корня:
\[x=5\quad\text{и}\quad x=-5.\]
Шаг 4. Для каждого из них \(x^{2}-19=6\neq0\), значит оба корня допустимы.
Шаг 5. В ответе нужен меньший корень:
\[x=-5.\]

Шаг 1. Правая часть положительна, поэтому возведение в квадрат равносильно: после него
подкоренное выражение окажется равным \(4>0\), то есть ОДЗ выполнится автоматически.
Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:
\[19+5x=2^{2}=4.\]
Шаг 3. Решаем:
\[5x=4-19=-15,\qquad x=-3.\]

Шаг 1. Куб — возрастающая функция, определённая при всех значениях аргумента, поэтому
кубический корень извлекается однозначно и из отрицательного числа:
\[x+1=\sqrt[3]{-64}=-4.\]
Шаг 2. Отсюда
\[x=-4-1=-5.\]

Шаг 1. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому правая часть обязана быть
неотрицательной:
\[x\geqslant0.\]
Шаг 2. При этом условии возводим обе части в квадрат:
\[7x+18=x^{2},\qquad x^{2}-7x-18=0.\]
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:
\[D=49+72=121,\qquad x=\frac{7\pm11}{2},\]
\[x=9\quad\text{и}\quad x=-2.\]
Шаг 4. Корень \(x=-2\) не удовлетворяет условию \(x\geqslant0\) — он посторонний, появился
при возведении в квадрат. Остаётся \(x=9\).
Шаг 5. Проверка подстановкой:
\[\sqrt{7\cdot9+18}=\sqrt{81}=9.\]
Корень один, поэтому оговорка про меньший из корней на ответ не влияет:
\[x=9.\]

Шаг 1. Приведём обе части к одному основанию. Справа стоит степень тройки:
\[81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{4}.\]
Шаг 2. Уравнение принимает вид
\[3^{\,x-2}=3^{4}.\]
Шаг 3. Показательная функция \(y=3^{t}\) возрастает, поэтому разным показателям отвечают
разные значения. Значит, степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда,
когда равны их показатели:
\[x-2=4.\]
Шаг 4. Отсюда
\[x=6.\]