№1. Планиметрия

Шаг 1. Переходим к центральному углу AOB

Отрезок \(BD\) — диаметр, поэтому точки \(B\), \(O\), \(D\) лежат на одной прямой, а углы \(AOD\) и \(AOB\) смежные:

\[\angle AOB = 180^\circ - 16^\circ = 164^\circ.\]

Шаг 2. Вписанный угол вдвое меньше центрального

Угол \(ACB\) — вписанный, он опирается на дугу \(AB\); центральный угол \(AOB\) опирается на ту же дугу. Значит

\[\angle ACB = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{164^\circ}{2} = 82^\circ.\]

Шаг 1. Радиус перпендикулярен касательной

Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

\[\angle OAC = 90^\circ.\]

Шаг 2. Находим угол при центре

В треугольнике \(OAC\) угол при вершине \(A\) прямой, поэтому два острых угла дают в сумме \(90^\circ\):

\[\angle AOC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ.\]

Шаг 3. От центрального угла к дуге

Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит \(\angle AOB\) — это тот же угол \(AOC\). Он центральный, поэтому дуга \(AB\) равна ему:

\[\smile AB = 33^\circ.\]

Шаг 1. Диагональ делит угол B

Диагональ \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\), поэтому

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC,\qquad\text{то есть}\qquad \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC.\]

Шаг 2. Находим угол DBC

Углы \(CAD\) и \(CBD\) — вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(CD\), значит они равны:

\[\angle DBC = \angle CAD = 44^\circ.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[\angle ABD = 98^\circ - 44^\circ = 54^\circ.\]

Шаг 1. Записываем связь углов

Обозначим вписанный угол через \(\alpha\). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного, то есть равен \(2\alpha\).

Шаг 2. Переводим условие в уравнение

По условию центральный угол на \(32^\circ\) больше вписанного:

\[2\alpha = \alpha + 32^\circ.\]

Шаг 3. Решаем

\[\alpha = 32^\circ.\]

Спрашивают именно вписанный угол, поэтому в ответ идёт \(32\), а не центральный угол \(64^\circ\).

Шаг 1. Радиус в точку касания

Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

\[OA \perp CA,\qquad\text{то есть}\qquad \angle OAC = 90^\circ.\]

Шаг 2. Переводим дугу в угол

Угол \(AOB\) — центральный, он опирается на дугу \(AB\), поэтому равен её градусной мере:

\[\angle AOB = 66^\circ.\]

Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит угол \(AOC\) — это тот же самый угол: \(\angle AOC = 66^\circ\).

Шаг 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника

В треугольнике \(OAC\) угол при вершине \(A\) прямой, поэтому два других угла в сумме дают \(90^\circ\):

\[\angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.\]

Шаг 1. От внешнего угла к внутреннему

Внешний угол при вершине \(B\) и внутренний угол \(B\) — смежные, их сумма равна \(180^\circ\):

\[\angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ.\]

Шаг 2. Находим второй угол при основании

Стороны \(AC\) и \(BC\) равны, значит треугольник равнобедренный с основанием \(AB\). Углы при основании равны:

\[\angle A = \angle ABC = 73^\circ.\]

Шаг 3. Сумма углов треугольника

\[\angle C = 180^\circ - 73^\circ - 73^\circ = 34^\circ.\]