№1. Планиметрия

Шаг 1. Углы при основании

Стороны \(AC\) и \(BC\) равны, значит треугольник равнобедренный с основанием \(AB\), и углы при основании равны. Их сумма составляет

\[180^\circ - \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ,\]

поэтому каждый из них равен

\[\angle A = \angle ABC = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ.\]

Шаг 2. Внешний угол как смежный

Угол \(CBD\) смежный с внутренним углом \(ABC\):

\[\angle CBD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.\]

Шаг 1. Находим второй катет

Угол \(C\) прямой, поэтому \(AB\) — гипотенуза, а \(AC\) и \(BC\) — катеты. По теореме Пифагора

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15.\]

Шаг 2. Применяем определение косинуса

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. К углу \(A\) прилежит катет \(AC\), то есть тот, который выходит из вершины \(A\):

\[\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{25} = 0{,}6.\]

Шаг 1. От вписанного угла к центральному

Угол \(ACB\) — вписанный, он опирается на дугу \(AB\). Центральный угол \(AOB\) опирается на ту же дугу, а центральный вдвое больше вписанного:

\[\angle AOB = 2\,\angle ACB = 2\cdot 38^\circ = 76^\circ.\]

Шаг 2. Используем, что BD — диаметр

Точки \(B\), \(O\), \(D\) лежат на одной прямой, потому что \(BD\) — диаметр. Значит углы \(AOB\) и \(AOD\) смежные:

\[\angle AOD = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ.\]
 

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника

Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

\[AB + CD = BC + AD.\]

Шаг 2. Половина периметра

Периметр складывается как раз из этих двух одинаковых сумм, значит каждая из них равна половине периметра:

\[AB + CD = \dfrac{P}{2} = \dfrac{34}{2} = 17.\]

Шаг 3. Находим AB

\[AB = 17 - CD = 17 - 10 = 7.\]
 

Шаг 1. Свойство описанного четырёхугольника

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

\[AB + CD = BC + AD.\]

Это следствие того, что отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: обозначив эти отрезки у вершин через \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), получаем \(AB + CD = (a+b) + (c+d)\) и \(BC + AD = (b+c) + (d+a)\) — одно и то же.

Шаг 2. Считаем периметр

\[AB + CD = 7 + 13 = 20,\qquad\text{значит}\qquad BC + AD = 20.\]

\[P = AB + BC + CD + AD = 20 + 20 = 40.\]

Шаг 1. Разбиваем искомый угол

Диагональ \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\) и делит его на две части:

\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC.\]

Первое слагаемое дано, осталось найти \(\angle DBC\).

Шаг 2. Два угла на одну дугу

Углы \(CAD\) и \(CBD\) — вписанные, и оба опираются на дугу \(CD\): у первого вершина \(A\), у второго вершина \(B\), и обе эти вершины лежат на одной дуге относительно хорды \(CD\). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому

\[\angle DBC = \angle CAD = 35^\circ.\]

Шаг 3. Складываем

\[\angle ABC = 75^\circ + 35^\circ = 110^\circ.\]