№1. Планиметрия

Шаг 1. Второй острый угол

\[\angle A = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.\]

Шаг 2. Угол, который даёт медиана

Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому \(CM = AM\), треугольник \(ACM\) равнобедренный, и

\[\angle ACM = \angle A = 24^\circ.\]

Шаг 3. Угол, который даёт высота

В прямоугольном треугольнике \(ACH\) угол при вершине \(H\) прямой, поэтому

\[\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ.\]

Шаг 4. Разность

Оба луча отложены от стороны \(CA\), значит

\[\angle HCM = 66^\circ - 24^\circ = 42^\circ.\]

Шаг 1. Что отсекает отрезок AF

Отрезок \(AF\) делит параллелограмм на треугольник \(ABF\) и трапецию \(AFCD\), поэтому

\[S_{AFCD} = S_{ABCD} - S_{ABF}.\]

Шаг 2. Площадь треугольника ABF

Пусть \(h\) — расстояние от вершины \(A\) до прямой \(BC\). Тогда \(S_{ABCD} = BC\cdot h\). Основание треугольника \(ABF\) равно \(BF = \dfrac{BC}{2}\), а высота из вершины \(A\) та же самая:

\[S_{ABF} = \dfrac12\cdot\dfrac{BC}{2}\cdot h = \dfrac{S_{ABCD}}{4} = \dfrac{20}{4} = 5.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{AFCD} = 20 - 5 = 15.\]

Шаг 1. Второй острый угол

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают \(90^\circ\):

\[\angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ.\]

Шаг 2. Угол, который даёт медиана

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому \(CM = AM\) и треугольник \(ACM\) равнобедренный. Углы при его основании \(AC\) равны:

\[\angle ACM = \angle A = 69^\circ.\]

Шаг 3. Угол, который даёт биссектриса

Биссектриса делит прямой угол \(C\) пополам:

\[\angle ACD = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ.\]

Шаг 4. Разность

Оба луча отложены от стороны \(CA\), поэтому искомый угол равен разности:

\[\angle DCM = 69^\circ - 45^\circ = 24^\circ.\]

Шаг 1. Разбиваем параллелограмм отрезком BE

Отрезок \(BE\) делит параллелограмм на треугольник \(ABE\) и трапецию \(BCDE\):

\[S_{BCDE} = S_{ABCD} - S_{ABE}.\]

Шаг 2. Треугольник ABE — четверть параллелограмма

Пусть \(h\) — расстояние от \(B\) до прямой \(AD\), тогда \(S_{ABCD} = AD\cdot h\). У треугольника \(ABE\) основание вдвое меньше, а высота та же:

\[S_{ABE} = \dfrac12\cdot\dfrac{AD}{2}\cdot h = \dfrac{S_{ABCD}}{4} = \dfrac{70}{4} = 17{,}5.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{BCDE} = 70 - 17{,}5 = 52{,}5.\]

Шаг 1. Отрезок BE разбивает параллелограмм

Отрезок \(BE\) делит параллелограмм на треугольник \(ABE\) и трапецию \(BCDE\). Значит

\[S_{BCDE} = S_{ABCD} - S_{ABE}.\]

Шаг 2. Площадь отсечённого треугольника

Пусть \(h\) — расстояние от вершины \(B\) до прямой \(AD\). Тогда \(S_{ABCD} = AD\cdot h\). У треугольника \(ABE\) основание \(AE = \dfrac{AD}{2}\) лежит на той же прямой, а высота та же самая:

\[S_{ABE} = \dfrac12\cdot\dfrac{AD}{2}\cdot h = \dfrac14\,(AD\cdot h) = \dfrac{189}{4} = 47{,}25.\]

Шаг 3. Вычитаем

\[S_{BCDE} = 189 - 47{,}25 = 141{,}75.\]

Шаг 1. Внутренний угол при вершине

Внешний угол при вершине \(B\) смежен с внутренним углом \(ABC\), поэтому

\[\angle ABC = 180^\circ - 18^\circ = 162^\circ.\]

Шаг 2. Углы при основании

Основание треугольника — \(AC\), значит боковые стороны \(AB\) и \(BC\) равны, а углы при основании равны между собой. На них приходится

\[180^\circ - 162^\circ = 18^\circ,\]

и каждый из них равен

\[\angle ACB = \dfrac{18^\circ}{2} = 9^\circ.\]